Calcule
sendo dados:
e
a região compreendida entre os gráficos das funções
e
.
- Inverta a ordem de integração.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral dupla
com
e
a região entre as curvas
e
para
. Vamos usar o Teorema de Fubini e inverter a ordem de integração para entender melhor os limites.
Passo 2
No formato original em ordem
, para cada
temos
variando de
até
. Geometricamente,
é a faixa entre as duas curvas de
até
. Para inverter a ordem, precisamos ver, para cada
, quais
satisfazem
e
.
Passo 3
Observando que o valor de
vai de seu mínimo em
até o máximo em
, dividimos em dois pedaços:
- Para
: temos , a condição se torna , e domina. Logo . - Para
: temos , a condição vira , junto com . Logo .
Passo 4
A integral com ordem invertida fica
Passo 5
Para calcular de modo mais direto, voltamos à ordem original:
Integrando em
:
Depois em
: