Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y sendo dados:
f(x, y)=x+y e B a região compreendida entre os gráficos das funções y= x e y=e^x, com 0 <= x <= 1.
  • Inverta a ordem de integração.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaB f(x,y),dx,dy com f(x,y)=x+y e B a região entre as curvas y=x e y=e^x para 0<= x<=1. Vamos usar o Teorema de Fubini e inverter a ordem de integração para entender melhor os limites.

Passo 2

No formato original em ordem dx,dy, para cada xin[0,1] temos y variando de y=x até y=e^x. Geometricamente, B é a faixa entre as duas curvas de x=0 até x=1. Para inverter a ordem, precisamos ver, para cada y, quais x satisfazem x<= y<= e^x e 0<= x<=1.

Passo 3

Observando que o valor de y vai de seu mínimo em y=0 até o máximo em y=e, dividimos em dois pedaços:
  • Para 0<= y<=1: temos ln y<=0, a condição x>=ln y se torna x>=0, e x<= y domina. Logo xin[0,y].
  • Para 1<= y<= e: temos ln y>=0, a condição y<= e^x vira x>=ln y, junto com x<=1. Logo xin[ln y,1].

Passo 4

A integral com ordem invertida fica
integral duplaB(x+y),dx,dy =integral0^1integral0^y(x+y),dx,dy +integral1^eintegralln y^1(x+y),dx,dy

Passo 5

Para calcular de modo mais direto, voltamos à ordem original:
integralx=0^1integraly=x^e^x(x+y),dy,dx
Integrando em y:
integralx^e^x(x+y),dy =xe^x+e^2x2-3x^22
Depois em x:
integral0^1l(xe^x+e^2x2-3x^22r)dx =1+e^2-14-12 =e^2+14

Resposta

e^2+14

Exercícios relacionados