Calcule:
6.7) integral duplaD(2 x+1) d x d y, onde D é a região no primeiro quadrante do plano x y, limitada pelas curvas y=x^2, y=x^2+1, x=1 e x=2.

Passo 1

A questão pede o cálculo da integral dupla integral duplaD(2x+1),dx,dy, onde D está no primeiro quadrante e é limitada por y=x^2, y=x^2+1, x=1 e x=2. O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas e vamos precisar usar a propriedade de Fubini para escrever a integral como iterada.

Passo 2

Para descrever a região D, note que x varia de 1 a 2 (pelas retas x=1 e x=2), e para cada x fixo, y varia de x^2 até x^2+1. Assim
integral duplaD(2x+1),dx,dy = integralx=1^2integraly=x^2^x^2+1(2x+1),dy,dx

Passo 3

No integrando, 2x+1 independe de y, então a integral interna é
integraly=x^2^x^2+1(2x+1),dy = (2x+1)l[(x^2+1)-x^2r] = (2x+1)cdot1 = 2x+1

Passo 4

Assim a integral reduz a
integral1^2(2x+1),dx

Passo 5

Basta agora integrar:
integral(2x+1),dx = x^2 + x + C,
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integral1^2(2x+1),dx = l[x^2+xr]1^2 = (4+2)-(1+1) = 6-2 = 4

Resposta

4

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