Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
16) sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k. O conteúdo é séries numéricas e precisamos testar convergência usando séries geométricas e, se convergir, calcular a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Separei a série em duas partes:
sumk=1^infty 2^k-25^k ;+ sumk=1^infty 3^k+15^k
Identifico cada termo como uma constante vezes uma potência r^k.

Passo 3

Para a primeira série, 2^k-25^k = 14l(25r)^k. O fator tfrac14 sai da soma e a razão é r=2/5 com |r|<1, logo a série converge. Uso a fórmula:
sumk=1^infty r^k = r1-r
Então
sumk=1^infty 2^k-25^k = 14cdot tfrac251-tfrac25 = 16

Passo 4

Para a segunda série, 3^k+15^k = 3l(35r)^k. O fator 3 sai da soma e a razão é r=3/5 com |r|<1, logo converge. Aplicando a fórmula:
sumk=1^infty 3^k+15^k = 3cdot tfrac351-tfrac35 = 92

Passo 5

Somando as duas partes, a série original converge e sua soma é
16 + 92 = 143

Resposta

A série converge e sua soma é 143.

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