integral0^2 integralx^2^2 x(x^2+4 y) d y d x=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral dupla, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais iteradas. Precisamos calcular:
integral0^2 integralx^2^2x(x^2 + 4y) , dy , dx
Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é:
integralx^2^2x (x^2 + 4y) , dy
Aqui, estamos integrando $ x^{2} + 4y $ em relação a $ y $, mantendo $ x $ constante.

Passo 3

Vamos integrar $ x^{2} + 4y $ em relação a $ y $. Lembre-se que, ao integrar com respeito a $ y $, $ x^{2} $ é tratado como uma constante. A antiderivada de $ x^{2} $ em relação a $ y $ é $ x^{2}y $, e a antiderivada de $ 4y $ é $ 2y^{2} $.
Então,
x^2 + 4y
Como estamos fazendo uma integral definida de $ y $ de $ x^{2} $ a $ 2x $, vamos calcular:
y

Passo 4

Agora, vamos substituir os limites de integração:
Primeiro, para $ y = 2x $:
y = 2x
Em seguida, para $ y = x^{2} $:
x^2(2x) + 2(2x)^2 = 2x^3 + 2 cdot 4x^2 = 2x^3 + 8x^2
Então, a diferença é:
y = x^2

Passo 5

Agora, temos que integrar esse resultado em relação a $ x $ de 0 a 2:
x
Vamos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando cada termo:
  • A antiderivada de $ -3x^{4} $ é $ -\frac{3}{5}x^{5} $.
  • A antiderivada de $ 2x^{3} $ é $ \frac{2}{4}x^{4} = \frac{1}{2}x^{4} $.
  • A antiderivada de $ 8x^{2} $ é $ \frac{8}{3}x^{3} $.
Assim, a integral se torna:
-3x^4

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa antiderivada de $ x = 0 $ a $ x = 2 $:
Primeiro, para $ x = 2 $:
x = 0
x = 2
Convertendo tudo para um denominador comum, que é 15:
x = 2
Para $ x = 0 $, todos os termos serão zero.

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:
15215

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