Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral dupla, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais iteradas. Precisamos calcular:
Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é:
Aqui, estamos integrando $ x^{2} + 4y $ em relação a $ y $, mantendo $ x $ constante.
Passo 3
Vamos integrar $ x^{2} + 4y $ em relação a $ y $. Lembre-se que, ao integrar com respeito a $ y $, $ x^{2} $ é tratado como uma constante. A antiderivada de $ x^{2} $ em relação a $ y $ é $ x^{2}y $, e a antiderivada de $ 4y $ é $ 2y^{2} $.
Então,
Como estamos fazendo uma integral definida de $ y $ de $ x^{2} $ a $ 2x $, vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos substituir os limites de integração:
Primeiro, para $ y = 2x $:
Em seguida, para $ y = x^{2} $:
Então, a diferença é:
Passo 5
Agora, temos que integrar esse resultado em relação a $ x $ de 0 a 2:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 6
Integrando cada termo:
- A antiderivada de $ -3x^{4} $ é $ -\frac{3}{5}x^{5} $.
- A antiderivada de $ 2x^{3} $ é $ \frac{2}{4}x^{4} = \frac{1}{2}x^{4} $.
- A antiderivada de $ 8x^{2} $ é $ \frac{8}{3}x^{3} $.
Assim, a integral se torna:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de $ x = 0 $ a $ x = 2 $:
Primeiro, para $ x = 2 $:
Convertendo tudo para um denominador comum, que é 15:
Para $ x = 0 $, todos os termos serão zero.
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é: