Calcule a integral integral duplaD e^y^4 d A onde D é a região limitada pelas retas y=-1, y=1, x=0 e pela cúbica x=y^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla , onde é a região limitada pelas retas , , e a cúbica . A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para essa região e como integrar funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos as retas horizontais e , a reta vertical (que é o eixo y) e a curva . Vamos esboçar rapidamente:
  • Para , .
  • Para , .
  • A curva passa por , e .
Então, nossa região está entre e , e entre e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Vamos integrar em ordem integraly=-1^1 integralx=y^3^0 e^y^4 , dx , dy , ou seja, primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos definir os limites de para cada :
  • Para cada entre e , varia de a .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, ou seja, integrar integralx=y^3^0 e^y^4 , dx = e^y^4 cdot (0 - y^3) = -y^3 e^y^4 em relação a . Como não depende de , a integral fica simples:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integraly=-1^1 (-y^3 e^y^4) , dy = -integral-1^1 y^3 e^y^4 , dy

Passo 6

Observe que a função é uma função ímpar, ou seja, . Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em relação a zero (de a ), o resultado é zero.

Passo 7

Portanto, a integral fica:
-integral-1^1 y^3 e^y^4 , dy = 0

Resposta

A integral dupla vale 0.

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