Um fio tem um formato de um círculo x^2 + y^2 = a^2. Determine sua massa se a densidade no ponto (x, y) é |x| + |y|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a massa de um fio que forma um círculo definido pela equação . A densidade nesse fio varia de ponto para ponto e é dada por . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração ao longo de uma curva. Precisamos parametrizar o círculo e então integrar a densidade ao longo dessa trajetória para encontrar a massa total.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o círculo. Uma maneira comum de fazer isso é usando coordenadas polares. Podemos definir:
Onde varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 3

Agora, precisamos expressar a densidade em termos de . Substituindo as parametrizações:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o elemento de comprimento do círculo. Em coordenadas polares, temos:

Passo 5

Para encontrar a massa , integramos a densidade multiplicada pelo elemento de comprimento ao longo de toda a curva:
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Portanto:

Resposta

A massa do fio é .

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