Calcule a integral 
  transformando para coordenadas polares, onde 
  é a região limitada pelo semicírculo 
  e o eixo 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla 
 , onde 
  é a região limitada pelo semicírculo 
  e pelo eixo 
 . O conteúdo aqui envolve integrais duplas e a transformação para coordenadas polares, que facilita bastante quando trabalhamos com regiões circulares ou semicirculares. Vamos precisar entender como mudar as coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração conforme a região 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região 
 . A equação 
  representa a metade direita de um círculo de raio 2, centrado na origem. Juntando isso com o eixo 
  (onde 
 ), a região 
  é um semicírculo à direita do eixo 
 , ou seja, onde 
  e 
  vai de 
  a 
 .
Passo 3
Agora, vamos transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares. Lembrando que em coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área 
  em coordenadas polares é dado por:
E a função 
  se transforma em:
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como 
  é um semicírculo de raio 2 à direita do eixo 
 , temos:
- O raio 
varia de 0 a 2.  - O ângulo 
varia de a para cobrir toda a metade direita do círculo.  
Passo 5
Vamos montar a integral em coordenadas polares com os limites determinados:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna 
 . Para isso, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Calculando a integral de 
 :
Portanto: