Calcule
, em que
, sen
e
é a superfície do sólido
limitado pelo plano
e pelo paraboloide
e (orientada para fora).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial
. A superfície
é a fronteira do sólido
limitado pelo plano
e pelo paraboloide
, com a orientação para fora. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Vamos precisar calcular a divergência do campo
e configurar a integral no sistema de coordenadas adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de fluxo de um campo vetorial
através da superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
delimitado por
. Matematicamente:
Isso facilita muito nosso trabalho porque, em vez de calcular uma integral de superfície complicada, podemos calcular uma integral de volume, que muitas vezes é mais simples, especialmente em coordenadas apropriadas.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência
é dada pela soma das derivadas parciais dos componentes de
em relação às suas variáveis correspondentes:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral tripla da divergência
sobre o volume
. Observe que o sólido
é limitado pelo plano
e pelo paraboloide
. Como a expressão
tem simetria circular, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração.
Passo 5
Em coordenadas cilíndricas, as variáveis são
,
e
, onde:
Além disso, o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é
.
A equação do paraboloide em coordenadas cilíndricas fica:
E o plano é
. Então,
varia de 0 até
.
Passo 6
Vamos determinar os limites de integração:
-
varia de a (contorno completo). -
varia de até o valor onde o paraboloide intersecciona o plano . Quando , . -
varia de até .
Então, a integral tripla fica:
Agora, vamos expressar
em coordenadas cilíndricas. Sabemos que
, então:
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Integrando em relação a
:
Então, a integral se torna:
Vamos expandir
:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando em
:
Então, a integral se torna:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.