(2,5) Calcule integral duplaS F d S, em que F(x, y, z)=(2 x y^2+z, x e^x-cos z, sen y+2 x^2 z) e S é a superfície do sólido W limitado pelo plano z=0 e pelo paraboloide z=4-x^2-y^2 e (orientada para fora).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer calcular a integral de superfície integral duplaS F , dS, onde o campo vetorial F(x, y, z) = (2xy^2 + z, , xe^x - cos z, , sin y + 2x^2z). A superfície S é a fronteira do sólido W limitado pelo plano z=0 e pelo paraboloide z = 4 - x^2 - y^2, com a orientação para fora. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Vamos precisar calcular a divergência do campo F e configurar a integral no sistema de coordenadas adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que a integral de fluxo de um campo vetorial F através da superfície fechada S é igual à integral tripla da divergência de F sobre o volume W delimitado por S. Matematicamente:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaW nabla cdot F , dV
Isso facilita muito nosso trabalho porque, em vez de calcular uma integral de superfície complicada, podemos calcular uma integral de volume, que muitas vezes é mais simples, especialmente em coordenadas apropriadas.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência nabla cdot F é dada pela soma das derivadas parciais dos componentes de F em relação às suas variáveis correspondentes:
nabla cdot F = partialpartial x(2xy^2 + z) + partialpartial y(xe^x - cos z) + partialpartial z(sin y + 2x^2z)
Calculando cada termo:
partialpartial x(2xy^2 + z) = 2y^2
partialpartial y(xe^x - cos z) = 0
partialpartial z(sin y + 2x^2z) = 2x^2
Então,
nabla cdot F = 2y^2 + 0 + 2x^2 = 2x^2 + 2y^2

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral tripla da divergência nabla cdot F = 2x^2 + 2y^2 sobre o volume W. Observe que o sólido W é limitado pelo plano z=0 e pelo paraboloide z = 4 - x^2 - y^2. Como a expressão 2x^2 + 2y^2 tem simetria circular, é conveniente usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração.

Passo 5

Em coordenadas cilíndricas, as variáveis são r, theta e z, onde:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • z = z
Além disso, o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas é r , dr , dtheta , dz.
A equação do paraboloide em coordenadas cilíndricas fica:
z = 4 - r^2
E o plano é z = 0. Então, z varia de 0 até 4 - r^2.

Passo 6

Vamos determinar os limites de integração:
  • theta varia de 0 a 2pi (contorno completo).
  • r varia de 0 até o valor onde o paraboloide intersecciona o plano z=0. Quando z=0, 4 - r^2 = 0 Rightarrow r = 2.
  • z varia de 0 até 4 - r^2.
Então, a integral tripla fica:
integral triplaW (2x^2 + 2y^2) , dV = integral0^2pi integral0^2 integral0^4 - r^2 (2x^2 + 2y^2) , r , dz , dr , dtheta
Agora, vamos expressar x^2 + y^2 em coordenadas cilíndricas. Sabemos que x^2 + y^2 = r^2, então:
2x^2 + 2y^2 = 2r^2

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
integral triplaW 2r^2 cdot r , dz , dr , dtheta = 2 integral0^2pi integral0^2 integral0^4 - r^2 r^3 , dz , dr , dtheta
Integrando em relação a z:
integral0^4 - r^2 dz = (4 - r^2) - 0 = 4 - r^2
Então, a integral se torna:
2 integral0^2pi integral0^2 r^3(4 - r^2) , dr , dtheta
Vamos expandir r^3(4 - r^2):
r^3 cdot 4 - r^5 = 4r^3 - r^5
Agora, integramos em relação a r:
integral0^2 (4r^3 - r^5) , dr = [ 4r^44 - r^66 ]0^2 = [ r^4 - r^66 ]0^2
Calculando em r=2:
(2)^4 - (2)^66 = 16 - 646 = 16 - 323 = 483 - 323 = 163
Então, a integral se torna:
2 integral0^2pi 163 , dtheta = 323 integral0^2pi dtheta = 323 cdot 2pi = 64pi3

Resposta

O valor da integral de superfície é dfrac64,pi3.

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