Dada
, encontre:
os valores máximos e mínimos de
;
os valores máximos e mínimos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = x - 2 \sin(x) $ definida no intervalo de $ 0 < x < 3\pi $. O objetivo é encontrar os valores máximos e mínimos dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e pontos críticos. Vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou não existe, e analisar esses pontos para determinar os máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender o comportamento da função, especialmente onde ela está crescendo ou diminuindo.
A função é:
Derivando cada termo:
- A derivada de $ x $ é 1.
- A derivada de $ -2 \sin(x) $ é $ -2 \cos(x) $.
Então, a derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Agora que temos a derivada $ f’(x) = 1 - 2 \cos(x) $, precisamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso, a derivada existe para todo $ x $, então vamos resolver a equação:
Passo 4
Resolvendo a equação $ 1 - 2 \cos(x) = 0 $:
Agora, precisamos encontrar os valores de $ x $ no intervalo $ 0 < x < 3\pi $ onde $ \cos(x) = \frac{1}{2} $.
Passo 5
Sabemos que $ \cos(x) = \frac{1}{2} $ ocorre nos ângulos:
onde $ k $ é um número inteiro. Vamos encontrar os valores dentro do nosso intervalo de $ 0 < x < 3\pi $:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Mas $ \frac{11\pi}{3} $ é maior que $ 3\pi $ (pois $ 3\pi = \frac{9\pi}{3} $), então descartamos esse valor.
Então, os pontos críticos no intervalo são:
Passo 6
Agora vamos avaliar a segunda derivada para determinar a natureza de cada ponto crítico (máximo ou mínimo).
Primeiro, calculamos a segunda derivada $ f’’(x) $:
A primeira derivada é:
Derivando novamente:
Passo 7
Vamos avaliar $ f’’(x) $ em cada ponto crítico:
- Para $ x = \frac{\pi}{3} $:
Como $ f’’(x) > 0 $, temos um ponto de mínimo.
- Para $ x = \frac{5\pi}{3} $:
Como $ f’’(x) < 0 $, temos um ponto de máximo.
- Para $ x = \frac{7\pi}{3} $:
Como $ f’’(x) > 0 $, temos um ponto de mínimo.
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores da função nesses pontos críticos para identificar os valores máximos e mínimos.
A função é:
- Para $ x = \frac{\pi}{3} $:
- Para $ x = \frac{5\pi}{3} $:
- Para $ x = \frac{7\pi}{3} $:
Passo 9
Vamos resumir os resultados:
- Em $ x = \frac{\pi}{3} $, a função tem um mínimo com valor $ \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} $.
- Em $ x = \frac{5\pi}{3} $, a função tem um máximo com valor $ \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3} $.
- Em $ x = \frac{7\pi}{3} $, a função tem um mínimo com valor $ \frac{7\pi}{3} - \sqrt{3} $.
Resposta
Os valores máximos de $ f(x) $ são $ \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3} $ em $ x = \frac{5\pi}{3} $ e os valores mínimos são $ \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} $ em $ x = \frac{\pi}{3} $ e $ \frac{7\pi}{3} - \sqrt{3} $ em $ x = \frac{7\pi}{3} $.