Dada f(x)=x-2 sen(x), 0, encontre:
os valores máximos e mínimos de f;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = x - 2 \sin(x) $ definida no intervalo de $ 0 < x < 3\pi $. O objetivo é encontrar os valores máximos e mínimos dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e pontos críticos. Vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou não existe, e analisar esses pontos para determinar os máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender o comportamento da função, especialmente onde ela está crescendo ou diminuindo.
A função é:
f(x)
Derivando cada termo:
  • A derivada de $ x $ é 1.
  • A derivada de $ -2 \sin(x) $ é $ -2 \cos(x) $.
Então, a derivada de $ f(x) $ é:
f(x) = x - 2 sin(x)

Passo 3

Agora que temos a derivada $ f’(x) = 1 - 2 \cos(x) $, precisamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Neste caso, a derivada existe para todo $ x $, então vamos resolver a equação:
f'(x) = 1 - 2 cos(x)

Passo 4

Resolvendo a equação $ 1 - 2 \cos(x) = 0 $:
1 - 2 cos(x) = 0
2 cos(x) = 1
Agora, precisamos encontrar os valores de $ x $ no intervalo $ 0 < x < 3\pi $ onde $ \cos(x) = \frac{1}{2} $.

Passo 5

Sabemos que $ \cos(x) = \frac{1}{2} $ ocorre nos ângulos:
cos(x) = 12
x = pi3 + 2kpi
onde $ k $ é um número inteiro. Vamos encontrar os valores dentro do nosso intervalo de $ 0 < x < 3\pi $:
Para $ k = 0 $:
x = 5pi3 + 2kpi
k
Para $ k = 1 $:
0 < x < 3pi
k = 0
Mas $ \frac{11\pi}{3} $ é maior que $ 3\pi $ (pois $ 3\pi = \frac{9\pi}{3} $), então descartamos esse valor.
Então, os pontos críticos no intervalo são:
x = pi3

Passo 6

Agora vamos avaliar a segunda derivada para determinar a natureza de cada ponto crítico (máximo ou mínimo).
Primeiro, calculamos a segunda derivada $ f’’(x) $:
A primeira derivada é:
f''(x)
Derivando novamente:
f'(x) = 1 - 2 cos(x)

Passo 7

Vamos avaliar $ f’’(x) $ em cada ponto crítico:
  1. Para $ x = \frac{\pi}{3} $:
f''(x)
Como $ f’’(x) > 0 $, temos um ponto de mínimo.
  1. Para $ x = \frac{5\pi}{3} $:
x = pi3
Como $ f’’(x) < 0 $, temos um ponto de máximo.
  1. Para $ x = \frac{7\pi}{3} $:
f''(pi3) = 2 sin(pi3) = 2 (raiz32) = raiz3 > 0
Como $ f’’(x) > 0 $, temos um ponto de mínimo.

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores da função nesses pontos críticos para identificar os valores máximos e mínimos.
A função é:
f(x) = x - 2 sin(x)
  1. Para $ x = \frac{\pi}{3} $:
x = pi3
  1. Para $ x = \frac{5\pi}{3} $:
f(pi3) = pi3 - 2 sin(pi3) = pi3 - 2 (raiz32) = pi3 - raiz3
  1. Para $ x = \frac{7\pi}{3} $:
x = 5pi3

Passo 9

Vamos resumir os resultados:
  • Em $ x = \frac{\pi}{3} $, a função tem um mínimo com valor $ \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} $.
  • Em $ x = \frac{5\pi}{3} $, a função tem um máximo com valor $ \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3} $.
  • Em $ x = \frac{7\pi}{3} $, a função tem um mínimo com valor $ \frac{7\pi}{3} - \sqrt{3} $.

Resposta

Os valores máximos de $ f(x) $ são $ \frac{5\pi}{3} + \sqrt{3} $ em $ x = \frac{5\pi}{3} $ e os valores mínimos são $ \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} $ em $ x = \frac{\pi}{3} $ e $ \frac{7\pi}{3} - \sqrt{3} $ em $ x = \frac{7\pi}{3} $.

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