Calcule 
 , sendo 
  e 
  a parte da esfera 
 , com 
 , orientada com 
  exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da rotacional do campo vetorial 
  sobre a parte da esfera dada. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como rotacional e integrais de superfície. Vamos precisar usar o teorema de Stokes para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o teorema de Stokes. Ele diz que a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial 
  sobre uma superfície 
  é igual à integral de linha de 
  ao longo da borda 
  de 
 . Matematicamente:
Isso vai nos ajudar a transformar a integral de superfície em uma integral de linha mais fácil de calcular.
Passo 3
Vamos identificar a superfície 
  e sua borda 
 . A equação da esfera é 
 , que podemos reescrever completando o quadrado:
Isso mostra que a esfera tem raio 2 e está centrada em 
 . A condição 
  indica que estamos trabalhando com o hemisfério inferior.
A borda 
  é a curva onde a esfera intersecta o plano 
 . Substituindo 
  na equação da esfera:
Então, 
  é um círculo de raio 
  no plano 
 .
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de linha 
 . Primeiro, parametrizamos a curva 
 .
Como 
  é um círculo no plano 
  com raio 
 , podemos usar a parametrização em coordenadas polares:
Derivando em relação a 
 :
Passo 5
Agora, vamos expressar o campo vetorial 
  na curva 
 . Substituindo 
  na expressão de 
 :
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar 
 :
Simplificando cada termo:
Passo 7
Integrando de 
  a 
 :
Vamos separar a integral:
Passo 8
Calculando cada integral:
Substituindo:
Simplificando: