Considere o campo vetorial 
 , seja 
  a calota esférica 
 , com 
  e raio 
 . Sabendo que o fluxo de 
  na direção da normal exterior 
  é igual a 
 , calcule o raio da calota.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial 
  e uma calota esférica 
  definida pela equação 
  com 
 . A gente precisa calcular o raio 
  da calota sabendo que o fluxo de 
  na direção da normal exterior 
  é igual a 
 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teorema da divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume encerrado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo 
  é dado por:
Onde 
  é o vetor normal à superfície 
 .
Passo 3
Como a superfície 
  é uma calota esférica e não uma esfera completa, precisamos fechar a superfície adicionando a base dessa calota, que é um disco no plano 
 . Assim, a superfície fechada será composta pela calota esférica 
  e pelo disco 
 .
Passo 4
Aplicando o teorema da divergência, temos:
Onde 
  é a superfície fechada composta por 
  e 
 , e 
  é o volume encerrado por essas superfícies.
Passo 5
Vamos calcular a divergência de 
 . A divergência 
  é dada por:
Calculando as derivadas:
Passo 6
Agora, aplicando o teorema da divergência:
O volume 
  da metade superior da esfera de raio 
  é:
Portanto:
Passo 7
Sabemos que o fluxo total através da superfície fechada 
  é a soma dos fluxos através da calota 
  e do disco 
 :
Nosso objetivo é encontrar 
 , que é dado no problema como 
 . Então:
Passo 8
Vamos calcular o fluxo através do disco 
 . No disco, 
  e o vetor normal 
  aponta para baixo, ou seja, 
 . Substituindo 
  na expressão de 
 :
O fluxo através de 
  é:
A área do disco 
  é:
Então:
Passo 9
Voltando à equação anterior:
Vamos isolar os termos:
Dividindo ambos os lados por 
  (considerando 
 ):
Resposta
O raio da calota é 
 . Porém, como o raio não pode ser negativo, provavelmente houve algum erro na interpretação dos sinais. Portanto, o valor correto do raio é 
 .