Seja 
 . Determine o fluxo de 
  através da parte do paraboloide 
  que está acima do plano 
 , sendo 
  a normal com componente 
  não negativa.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido. A gente tem um campo vetorial 
  e precisa calcular o fluxo desse campo através de uma parte específica do paraboloide 
  que está acima do plano 
 . A normal 
  deve ter componente 
  não negativa. Para resolver isso, vamos usar o teorema da divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de 
 . A divergência é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Passo 3
Calculando 
 :
Como  não depende de 
 , a derivada em relação a 
  é zero.
Como
Passo 4
Calculando 
 :
Aqui,  também não depende de 
 , então a derivada em relação a 
  é zero.
Aqui,
Passo 5
Calculando 
 :
A derivada de  em relação a 
  é 1.
A derivada de
Passo 6
Somando tudo, a divergência de 
  é:
Passo 7
Agora, segundo o teorema da divergência:
Já que 
 , o fluxo será igual ao volume 
  limitado pelo paraboloide 
  e pelo plano 
 .
Passo 8
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. Nas coordenadas cilíndricas:
O paraboloide 
  fica 
 .
Passo 9
O limite inferior para 
  é 
  e o superior é 
 . Então, 
 .
Passo 10
Para encontrar os limites de 
 , igualamos 
  e 
 :
Então, 
 .
Passo 11
O ângulo 
  varia de 
  a 
 . Então, nossa integral tripla fica:
Aqui, 
  é o fator de Jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 12
Vamos integrar em 
  primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 13
Agora, integramos em 
 :
Passo 14
Por fim, integramos em 
 :
Resposta
O fluxo de 
  através da parte do paraboloide acima do plano 
  é 
 .