Calcule
onde
e
é a esfera
.
Passo 1
Entendendo o Enunciado
Vamos calcular a integral dupla de
sobre a superfície
, que é a esfera
. Aqui,
é um campo vetorial dado por:
Vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, especificamente o “rotacional” (ou “curl”) de um campo vetorial e a aplicação do teorema de Stokes ou do teorema da divergência para resolver essa integral.
Passo 2
Entendendo o Rotacional (Curl)
O rotacional de um campo vetorial
é outro campo vetorial definido por:
No nosso caso, precisamos calcular essas derivadas parciais para encontrar
.
Passo 3
Calculando o Rotacional de
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, calculamos cada componente do rotacional:
Note que algumas dessas derivadas podem ser bastante complicadas devido às funções envolvidas, mas para o nosso propósito, vamos seguir para o próximo passo.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Stokes ou da Divergência
No caso de uma superfície fechada como a esfera
, podemos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial ao volume interior. Mas, como estamos lidando com o rotacional de um campo vetorial, sabemos que a divergência do rotacional é sempre zero:
Isso implica que a integral da divergência do rotacional sobre qualquer volume é zero, e consequentemente, a integral da superfície fechada do rotacional é também zero.
Passo 5
Conclusão da Integral
Dado que
é uma superfície fechada (a esfera), e a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é zero, temos: