Calcule integral duplaS rot(F) d S onde
F(x, y, z)=(2 x^5 y^2+y^6+sin (z^5 y^7), 2 x^6 y^2 14+cos (8 z^7), e^y x cos (x) cos (x^2 y^3)) e S é a esfera x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

Entendendo o Enunciado
Vamos calcular a integral dupla de F(x, y, z) = (2 x^5 y^2 + y^6 + sin (z^5 y^7), 2 x^6 y^2 14 + cos (8 z^7), e^y x cos (x) cos (x^2 y^3)) sobre a superfície , que é a esfera . Aqui, é um campo vetorial dado por:
Vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, especificamente o “rotacional” (ou “curl”) de um campo vetorial e a aplicação do teorema de Stokes ou do teorema da divergência para resolver essa integral.

Passo 2

Entendendo o Rotacional (Curl)
O rotacional de um campo vetorial rot(F) = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y ) é outro campo vetorial definido por:
No nosso caso, precisamos calcular essas derivadas parciais para encontrar .

Passo 3

Calculando o Rotacional de P = 2 x^5 y^2 + y^6 + sin (z^5 y^7)
Vamos identificar as componentes de Q = 2 x^6 y^2 14 + cos (8 z^7) :
R = e^y x cos (x) cos (x^2 y^3)
partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y
Agora, calculamos cada componente do rotacional:
Note que algumas dessas derivadas podem ser bastante complicadas devido às funções envolvidas, mas para o nosso propósito, vamos seguir para o próximo passo.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Stokes ou da Divergência
No caso de uma superfície fechada como a esfera nabla cdot (rot(F)) = 0 , podemos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial ao volume interior. Mas, como estamos lidando com o rotacional de um campo vetorial, sabemos que a divergência do rotacional é sempre zero:
Isso implica que a integral da divergência do rotacional sobre qualquer volume é zero, e consequentemente, a integral da superfície fechada do rotacional é também zero.

Passo 5

Conclusão da Integral
Dado que integral duplaS rot(F), dS = 0 é uma superfície fechada (a esfera), e a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é zero, temos:

Resposta

0

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