Calcule
6.
, onde
é a parte do plano
que está no primeiro octante;
6.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre a parte do plano
no primeiro octante. O conteúdo aqui é integral de superfície para função escalar, em que vamos parametrizar o plano ou usar a expressão
e calcular o elemento de área
.
Passo 2
Parametrizamos a superfície como
, com
variando na região triangular
. Para um gráfico
, o elemento de área é dado por
Aqui
e
, logo
Passo 3
Calculamos
Em seguida, sobre a superfície
torna-se
.
Passo 4
A integral de superfície fica então
O domínio
é descrito por
e
.
Passo 5
Primeiro fazemos a integral em
:
Depois a integral em
:
Portanto o valor da integral é
Passo 6
Juntando tudo, temos