Calcule integral duplasigma f(x, y, z) d S
6. f(x, y, z)=y z, onde sigma é a parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante;

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre a parte do plano x + y + z = 1 no primeiro octante. O conteúdo aqui é integral de superfície para função escalar, em que vamos parametrizar o plano ou usar a expressão z = 1 - x - y e calcular o elemento de área dS.

Passo 2

Parametrizamos a superfície como r(x,y) = (x,,y,,1 - x - y), com (x,y) variando na região triangular D = (x,y): x >= 0, y >= 0, x + y <= 1. Para um gráfico z = g(x,y), o elemento de área é dado por
dS = raiz1 + gx^2 + gy^2,dx,dy
Aqui gx = partialpartial x(1 - x - y) = -1 e gy = -1, logo

Passo 3

Calculamos
dS = raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2,dx,dy = raiz3,dx,dy
Em seguida, sobre a superfície f(x,y,z) = y z torna-se y(1 - x - y).

Passo 4

A integral de superfície fica então
I = integral duplaS y z,dS = integral duplaD y(1 - x - y),l(raiz3,dx,dyr) = raiz3integral duplaD y(1 - x - y),dx,dy
O domínio D é descrito por 0 <= x <= 1 - y e 0 <= y <= 1.

Passo 5

Primeiro fazemos a integral em x:
integral0^1-y y(1 - x - y),dx = yintegral0^1-y(1-y - x),dx = y l[(1-y)(1-y) - tfrac12(1-y)^2r] = tfrac12 y(1-y)^2
Depois a integral em y:
integral0^1 tfrac12 y(1-y)^2,dy = tfrac12 integral0^1 ,y(1-2y+y^2),dy = tfrac12cdottfrac112 = tfrac124
Portanto o valor da integral é

Passo 6

Juntando tudo, temos
I = raiz3times tfrac124 = tfracraiz324

Resposta

tfracraiz324

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