Use o Teorema do Valor Intermediário (T.V.I.) para mostrar que a equação
2 cos x=sen x+1
possui (pelo menos) uma solução positiva.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equação 2cos x = sin x + 1 tem pelo menos uma solução x>0. O conteúdo envolve funções contínuas e o uso do TVI.

Passo 2

Definimos a função f:RtoR dada por f(x)=2cos x-sin x-1. Note que f é combinação de senos, cossenos e operações algébricas, logo é contínua em todo R.

Passo 3

Calculamos o valor de f no ponto x=0:
f(0)=2cos 0-sin 0-1=2cdot1-0-1=1>0

Passo 4

Calculamos o valor de f no ponto x=tfracpi2:
fl(tfracpi2r)=2costfracpi2-sintfracpi2-1=2cdot0-1-1=-2<0

Passo 5

Como f(0)>0 e f(tfracpi2)<0, pela continuidade de f e pelo Teorema do Valor Intermediário existe algum cin(0,tfracpi2) tal que f(c)=0. Isso significa que 2cos c=sin c+1 para esse c>0, provando que há pelo menos uma solução positiva.

Resposta

Existe pelo menos uma solução xin(0,tfracpi2), logo a equação tem pelo menos uma raiz positiva.

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