◯ 5. Calcule a integral fazendo as considerações necessárias.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é um produto de potências de seno e cosseno, com expoentes pares (
e ). - Precisa-se de uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Escolha do método (e por quê): quando aparecem potências pares de seno e cosseno é muito eficiente usar as identidades de redução de potência (meio-ângulo), porque transformam potências em combinações de cossenos de múltiplos angulares, que são fáceis de integrar. A identidade fundamental que vamos usar é a forma da fórmula do cosseno de ângulo duplo:
Essa identidade permite escrever
(e, por extensão,
,
, etc.) como combinação linear de cossenos de
. Vou aplicar isso porque os expoentes são pares e assim a integral vira soma de integrais de cossenos simples.
Passo 3
Reescrever a integral em termos de potências de
. Note que
pois
e então
. Vou então expandir
e
usando a identidade
.
Primeiro, calcular
:
Substituindo
resulta
Agora, calcular
:
Usando
e
e aplicando produto para soma em
(ou fazendo as manipulações indicadas), obtemos a forma explícita
(Se quiser checar: expandir cuidadosamente
e usar
e
como acima dá exatamente esse resultado.)
Passo 4
Subtrair as duas expressões para obter a integranda em termos de cossenos de múltiplos angulares:
Colocando sobre denominador comum
:
Simplificando o numerador:
Portanto a integral fica
Passo 5
Integrar termo a termo (lembrando que
, logo
). Assim:
Aplicando isso na expressão com o fator
:
Simplificando os coeficientes: