◯ 5. Calcule a integral fazendo as considerações necessárias.
\int \sin ^{2} x \cos ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^{2}x \cos^{4}x \, dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é um produto de potências de seno e cosseno, com expoentes pares ( 2 e 4).
  • Precisa-se de uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\sin^{2}x\cos^{4}x.

Passo 2

Escolha do método (e por quê): quando aparecem potências pares de seno e cosseno é muito eficiente usar as identidades de redução de potência (meio-ângulo), porque transformam potências em combinações de cossenos de múltiplos angulares, que são fáceis de integrar. A identidade fundamental que vamos usar é a forma da fórmula do cosseno de ângulo duplo:
\cos 2x = 2\cos^{2}x - 1 \quad\Longrightarrow\quad \cos^{2}x = \frac{1+\cos 2x}{2}.
Essa identidade permite escrever \cos^{2}x (e, por extensão, \cos^{4}x, \cos^{6}x, etc.) como combinação linear de cossenos de 2x, 4x,\dots. Vou aplicar isso porque os expoentes são pares e assim a integral vira soma de integrais de cossenos simples.

Passo 3

Reescrever a integral em termos de potências de \cos^{2}x. Note que
\sin^{2}x\cos^{4}x = \cos^{4}x - \cos^{6}x,
pois \sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x e então \sin^{2}x\cos^{4}x = (1-\cos^{2}x)\cos^{4}x = \cos^{4}x - \cos^{6}x. Vou então expandir \cos^{4}x e \cos^{6}x usando a identidade \cos^{2}x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}.
Primeiro, calcular \cos^{4}x = (\cos^{2}x)^{2}:
\cos^{4}x = \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^{2} = \frac{1+2\cos 2x + \cos^{2}2x}{4}.
Substituindo \cos^{2}2x = \dfrac{1+\cos 4x}{2} resulta
\cos^{4}x = \frac{1 + 2\cos 2x + \dfrac{1+\cos 4x}{2}}{4} = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8}.
Agora, calcular \cos^{6}x = (\cos^{2}x)^{3}:
\cos^{6}x = \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^{3} = \frac{1 + 3\cos 2x + 3\cos^{2}2x + \cos^{3}2x}{8}.
Usando \cos^{2}2x = \dfrac{1+\cos 4x}{2} e \cos^{3}2x = \cos 2x\cdot\cos^{2}2x = \cos 2x\cdot\frac{1+\cos 4x}{2} e aplicando produto para soma em \cos 2x\cos 4x (ou fazendo as manipulações indicadas), obtemos a forma explícita
\cos^{6}x = \frac{10 + 15\cos 2x + 6\cos 4x + \cos 6x}{32}.
(Se quiser checar: expandir cuidadosamente (1+\cos2x)^3/8 e usar \cos^{2}2x e \cos^{3}2x como acima dá exatamente esse resultado.)

Passo 4

Subtrair as duas expressões para obter a integranda em termos de cossenos de múltiplos angulares:
\cos^{4}x - \cos^{6}x = \frac{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}{8} - \frac{10 + 15\cos 2x + 6\cos 4x + \cos 6x}{32}.
Colocando sobre denominador comum 32:
\cos^{4}x - \cos^{6}x = \frac{12 + 16\cos 2x + 4\cos 4x - (10 + 15\cos 2x + 6\cos 4x + \cos 6x)}{32}.
Simplificando o numerador:
\cos^{4}x - \cos^{6}x = \frac{2 + \cos 2x - 2\cos 4x - \cos 6x}{32}.
Portanto a integral fica
\int \sin^{2}x\cos^{4}x \, dx = \int \frac{2 + \cos 2x - 2\cos 4x - \cos 6x}{32} \, dx = \frac{1}{32}\int \bigl(2 + \cos 2x - 2\cos 4x - \cos 6x\bigr)\,dx.

Passo 5

Integrar termo a termo (lembrando que \dfrac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx), logo \int \cos(kx)\,dx = \dfrac{\sin(kx)}{k}). Assim:
\int 2\,dx = 2x, \qquad \int \cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}, \qquad \int \cos 4x\,dx = \frac{\sin 4x}{4}, \qquad \int \cos 6x\,dx = \frac{\sin 6x}{6}.
Aplicando isso na expressão com o fator 1/32:
\int \sin^{2}x\cos^{4}x \, dx = \frac{1}{32}\left(2x + \frac{\sin 2x}{2} - 2\cdot\frac{\sin 4x}{4} - \frac{\sin 6x}{6}\right) + C.
Simplificando os coeficientes:
\int \sin^{2}x\cos^{4}x \, dx = \frac{x}{16} + \frac{\sin 2x}{64} - \frac{\sin 4x}{64} - \frac{\sin 6x}{192} + C.

Resposta

\dfrac{x}{16} + \dfrac{\sin 2x}{64} - \dfrac{\sin 4x}{64} - \dfrac{\sin 6x}{192} + C

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