Calcule as integrais justificando cada passo.
\int e^{a x} \cos (b x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
\int e^{a x}\cos(b x)\,dx,
onde a e b são constantes (assumir reais). A resposta deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a fórmula da integração por partes. Ela diz que, para duas funções diferenciáveis u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos (para a qual calculamos du) e dv é a parte restante (para a qual calculamos v, a primitiva de dv). A ideia é escolher u e dv de forma a simplificar a integral que aparece no lado direito.

Passo 3

Defina
I=\int e^{ax}\cos(bx)\,dx.
Escolhemos para a primeira integração por partes:
u = e^{ax},\qquad dv = \cos(bx)\,dx.
Então
du = a e^{ax}\,dx,\qquad v = \frac{\sin(bx)}{b}.
Aplicando integração por partes:
I = u v - \int v\,du = \frac{e^{ax}\sin(bx)}{b} - \frac{a}{b}\int e^{ax}\sin(bx)\,dx.
Defina
J=\int e^{ax}\sin(bx)\,dx,
para escrever
I = \frac{e^{ax}\sin(bx)}{b} - \frac{a}{b}J.

Passo 4

Agora calculamos J por partes. Tome
u = e^{ax},\qquad dv = \sin(bx)\,dx.
Então
du = a e^{ax}\,dx,\qquad v = -\frac{\cos(bx)}{b}.
Aplicando integração por partes em J:
J = u v - \int v\,du = -\frac{e^{ax}\cos(bx)}{b} + \frac{a}{b}\int e^{ax}\cos(bx)\,dx.
Mas \int e^{ax}\cos(bx)\,dx é exatamente I, logo
J = -\frac{e^{ax}\cos(bx)}{b} + \frac{a}{b}I.

Passo 5

Volte para a expressão de I obtida no Passo 3 e substitua J:
I = \frac{e^{ax}\sin(bx)}{b} - \frac{a}{b}\left(-\frac{e^{ax}\cos(bx)}{b} + \frac{a}{b}I\right).
Desenvolvendo:
I = \frac{e^{ax}\sin(bx)}{b} + \frac{a e^{ax}\cos(bx)}{b^{2}} - \frac{a^{2}}{b^{2}}I.
Agora junte os termos com I:
I + \frac{a^{2}}{b^{2}}I = \frac{e^{ax}\sin(bx)}{b} + \frac{a e^{ax}\cos(bx)}{b^{2}}.
Fatore I e escreva o fator à esquerda com denominação comum:
I\left(1+\frac{a^{2}}{b^{2}}\right) = \frac{e^{ax}}{b^{2}}\bigl(b\sin(bx)+a\cos(bx)\bigr).
Observe que 1+\dfrac{a^{2}}{b^{2}}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}. Portanto
I = \frac{e^{ax}}{b^{2}}\cdot\frac{b\sin(bx)+a\cos(bx)}{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}} = \frac{e^{ax}\bigl(a\cos(bx)+b\sin(bx)\bigr)}{a^{2}+b^{2}} + C,
onde adicionei a constante de integração C.

Passo 6

Breve verificação (opcional e útil na prova): derivando a função encontrada
F(x)=\frac{e^{ax}\bigl(a\cos(bx)+b\sin(bx)\bigr)}{a^{2}+b^{2}}
usa-se a regra do produto e simplifica-se para obter F'(x)=e^{ax}\cos(bx), confirmando que F é uma primitiva correta.

Resposta

\frac{e^{ax}\bigl(a\cos(bx)+b\sin(bx)\bigr)}{a^{2}+b^{2}}+C

Exercícios relacionados