Calcule as integrais justificando cada passo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
onde
e
são constantes (assumir reais). A resposta deve conter uma constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula da integração por partes. Ela diz que, para duas funções diferenciáveis
e
,
Aqui
é uma função que escolhemos (para a qual calculamos
) e
é a parte restante (para a qual calculamos
, a primitiva de
). A ideia é escolher
e
de forma a simplificar a integral que aparece no lado direito.
Passo 3
Defina
Escolhemos para a primeira integração por partes:
Então
Aplicando integração por partes:
Defina
para escrever
Passo 4
Agora calculamos
por partes. Tome
Então
Aplicando integração por partes em
:
Mas
é exatamente
, logo
Passo 5
Volte para a expressão de
obtida no Passo 3 e substitua
:
Desenvolvendo:
Agora junte os termos com
:
Fatore
e escreva o fator à esquerda com denominação comum:
Observe que
. Portanto
onde adicionei a constante de integração
.
Passo 6
Breve verificação (opcional e útil na prova): derivando a função encontrada
usa-se a regra do produto e simplifica-se para obter
, confirmando que
é uma primitiva correta.