Mostre a propriedade da derivada do produto de duas funções usando definição de derivada e de limites e depois mostre a relação usada para calcular integrais por partes.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos à disposição:
  • Pedidos:
    1. Mostrar a propriedade da derivada do produto de duas funções usando a definição de derivada e limites.
    2. A partir disso, obter a relação utilizada para calcular integrais por partes.
  • Informações dadas (que vamos usar):
    • Definição de derivada: para uma função f diferenciável em x,
    f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
    • No cálculo usaremos regras básicas de limites (limite da soma é a soma dos limites quando existem, limite do produto é o produto dos limites quando existem, etc.).
    • Suponhamos que f e g sejam diferenciáveis em x (logo também contínuas em x).

Passo 2

Relembrando e explicando a definição de derivada e por que diferenciabilidade implica continuidade (isso é útil para manipular limites):
  • Definição: \displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. Aqui:
    • \,h\to 0 é a variável que usamos para indicar um pequeno incremento no argumento x.
    • O quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} representa a taxa média de variação de f no intervalo [x,x+h].
    • Se esse limite existe e é finito, dizemos que f é diferenciável em x e o valor é f'(x).
  • Diferenciabilidade implica continuidade:
    • Se f'(x) existe finito, então
    \lim_{h\to 0}\bigl(f(x+h)-f(x)\bigr)=\lim_{h\to 0} h\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0\cdot f'(x)=0.
    • Logo \lim_{h\to 0} f(x+h)=f(x): f é contínua em x.
    • Isso é importante porque, ao calcular limites envolvendo f(x+h), podemos substituir por f(x) quando apropriado (isto é, quando multiplicado por algo que tem limite conhecido).

Passo 3

Começando a derivação da regra do produto. Vamos escrever a derivada de (fg) pela definição:
  • Queremos (fg)'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}.
  • Estratégia algébrica clássica: somar e subtrair um termo conveniente para separar as variações de f e de g. Escolhemos subtrair e somar f(x+h)g(x). Então:
f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)=\bigl(f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)\bigr)+\bigl(f(x+h)g(x)-f(x)g(x)\bigr).
Isto é só escrever o mesmo número como soma de dois termos.

Passo 4

Dividindo por h e reorganizando, temos
\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} = f(x+h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h} + g(x)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • Observação sobre cada parcela:
    • A primeira parcela é f(x+h) multiplicada pelo quociente \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}, que tende a g'(x) quando h\to 0.
    • A segunda parcela é g(x) (note que aqui usamos g(x), não g(x+h)) multiplicada pelo quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}, que tende a f'(x).
  • Por que podíamos fixar g(x) na segunda parcela? Porque introduzimos esse termo ao somar/subtrair f(x+h)g(x). É uma escolha que facilita a separação das taxas de variação.

Passo 5

Aplicando o limite quando h\to 0 e usando as propriedades de limite:
  • Como f e g são diferenciáveis em x, sabemos: \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x),\qquad \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x).
  • Também sabemos que f(x+h)\to f(x) quando h\to 0 (diferenciabilidade implica continuidade), então \lim_{h\to 0} f(x+h)=f(x).
  • Portanto, tomando limite no lado direito de f(x+h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h} + g(x)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h},por linearidade do limite e pela regra do produto de limites, obtemos \lim_{h\to 0}\Bigl(f(x+h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\Bigr) = f(x)\,g'(x),
\lim_{h\to 0}\Bigl(g(x)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\Bigr) = g(x)\,f'(x).

Passo 6

Concluindo a regra do produto:
  • Somando os limites acima temos
(fg)'(x)=f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x).
  • Em forma mais simétrica costuma-se escrever
(fg)'=f'g+fg'.
  • Interpretação prática: a derivada do produto é a soma de dois termos; em cada termo, deriva-se só uma das funções e multiplica-se pela outra inalterada. Mentalmente: “deriva-se a primeira vez multiplicando pela segunda, depois deriva-se a segunda multiplicando pela primeira”.

Passo 7

Agora vamos obter a fórmula de integração por partes a partir da regra do produto e da relação entre derivada e integral (Teorema Fundamental do Cálculo):
  • A regra do produto em forma diferencial (escrita com x suprimido para legibilidade) é
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
  • Integrando ambos os lados (uma primitiva) em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)\,dx = \int \bigl(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\bigr)\,dx.

Passo 8

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo e reorganizando:
  • O lado esquerdo é simplesmente f(x)g(x) (mais uma constante de integração que agrupamos depois). Assim
f(x)g(x)=\int f'(x)g(x)\,dx + \int f(x)g'(x)\,dx.
  • Isolando a integral que costuma ser chamada de \int u\,dv (aquela que queremos calcular) obtemos:
\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx.

Passo 9

Interpretando e trocando a notação para o uso prático em integrais por partes:
  • A notação habitual em integração por partes é: escolher u=f(x) e dv=g'(x)\,dx. Então
    • du=f'(x)\,dx,
    • v=g(x).
  • Substituindo nessa identidade chega-se à fórmula clássica:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
  • A versão definida (com limites a e b) vem integrando de a a b e usando o teorema fundamental:
\int_{a}^{b} u\,dv = \bigl.u v\bigr|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v\,du.
Isto é
\int_{a}^{b} u\,dv = u(b)v(b)-u(a)v(a) - \int_{a}^{b} v\,du.

Passo 10

Um exemplo prático e passo a passo para fixar (sinta-se à vontade, é fácil errar a escolha de u e dv; eu também já fiquei confuso no começo):
  • Exemplo: calcular \displaystyle\int x e^{x}\,dx.
    • Escolha: u=x (derivar u simplifica), dv=e^{x}\,dx (integração de e^x é simples).
    • Então du=dx e v=e^{x}.
    • Aplicando integração por partes:
    \int x e^{x}\,dx = u v - \int v\,du = x e^{x} - \int e^{x}\,dx.
    • A integral restante é \int e^{x}\,dx = e^{x}, então
    \int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1)+C.
  • Dica prática para escolher u: escolha algo que ao derivar simplifique (polinômio, log, arctan…), e para dv escolha algo que seja fácil de integrar; uma regra mnemónica popular é LIATE (log, inverse trig, algebraic, trig, exponential), mas isso é só guia, não lei infalível.

Resposta

(fg)'=f'g+fg'
\displaystyle \int u\,dv = u v - \int v\,du

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