Mostre a propriedade da derivada do produto de duas funções usando definição de derivada e de limites e depois mostre a relação usada para calcular integrais por partes.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos à disposição:
Pedidos:
Mostrar a propriedade da derivada do produto de duas funções usando a definição de derivada e limites.
A partir disso, obter a relação utilizada para calcular integrais por partes.
Informações dadas (que vamos usar):
Definição de derivada: para uma função f diferenciável em x,
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
No cálculo usaremos regras básicas de limites (limite da soma é a soma dos limites quando existem, limite do produto é o produto dos limites quando existem, etc.).
Suponhamos que f e g sejam diferenciáveis em x (logo também contínuas em x).
Passo 2
Relembrando e explicando a definição de derivada e por que diferenciabilidade implica continuidade (isso é útil para manipular limites):
Logo \lim_{h\to 0} f(x+h)=f(x): f é contínua em x.
Isso é importante porque, ao calcular limites envolvendo f(x+h), podemos substituir por f(x) quando apropriado (isto é, quando multiplicado por algo que tem limite conhecido).
Passo 3
Começando a derivação da regra do produto. Vamos escrever a derivada de (fg) pela definição:
Estratégia algébrica clássica: somar e subtrair um termo conveniente para separar as variações de f e de g. Escolhemos subtrair e somar f(x+h)g(x). Então:
A primeira parcela é f(x+h) multiplicada pelo quociente \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}, que tende a g'(x) quando h\to 0.
A segunda parcela é g(x) (note que aqui usamos g(x), não g(x+h)) multiplicada pelo quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}, que tende a f'(x).
Por que podíamos fixar g(x) na segunda parcela? Porque introduzimos esse termo ao somar/subtrair f(x+h)g(x). É uma escolha que facilita a separação das taxas de variação.
Passo 5
Aplicando o limite quando h\to 0 e usando as propriedades de limite:
Como f e g são diferenciáveis em x, sabemos:\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x),\qquad \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x).
Também sabemos que f(x+h)\to f(x) quando h\to 0 (diferenciabilidade implica continuidade), então\lim_{h\to 0} f(x+h)=f(x).
Portanto, tomando limite no lado direito def(x+h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h} + g(x)\cdot\frac{f(x+h)-f(x)}{h},por linearidade do limite e pela regra do produto de limites, obtemos\lim_{h\to 0}\Bigl(f(x+h)\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\Bigr) = f(x)\,g'(x),
Interpretação prática: a derivada do produto é a soma de dois termos; em cada termo, deriva-se só uma das funções e multiplica-se pela outra inalterada. Mentalmente: “deriva-se a primeira vez multiplicando pela segunda, depois deriva-se a segunda multiplicando pela primeira”.
Passo 7
Agora vamos obter a fórmula de integração por partes a partir da regra do produto e da relação entre derivada e integral (Teorema Fundamental do Cálculo):
A regra do produto em forma diferencial (escrita com x suprimido para legibilidade) é
Um exemplo prático e passo a passo para fixar (sinta-se à vontade, é fácil errar a escolha de u e dv; eu também já fiquei confuso no começo):
Exemplo: calcular \displaystyle\int x e^{x}\,dx.
Escolha: u=x (derivar u simplifica), dv=e^{x}\,dx (integração de e^x é simples).
Então du=dx e v=e^{x}.
Aplicando integração por partes:
\int x e^{x}\,dx = u v - \int v\,du = x e^{x} - \int e^{x}\,dx.
A integral restante é \int e^{x}\,dx = e^{x}, então
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1)+C.
Dica prática para escolher u: escolha algo que ao derivar simplifique (polinômio, log, arctan…), e para dv escolha algo que seja fácil de integrar; uma regra mnemónica popular é LIATE (log, inverse trig, algebraic, trig, exponential), mas isso é só guia, não lei infalível.
Resposta
(fg)'=f'g+fg' \displaystyle \int u\,dv = u v - \int v\,du