Calcule a integral fazendo a substituição dada.
integral 1(1+2 x)^3 d x, faça u=1+2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Hoje, vamos usar o método de substituição, que é super útil para integrar funções mais complicadas. Para isso, vamos precisar substituir uma parte da integral por uma nova variável que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso vai ajudar a simplificar nossa integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudx = 2 Rightarrow du = 2,dx em termos de dx = du2 . Derivando ambos os lados da equação em relação a , temos:
Então, isolando :

Passo 4

Vamos substituir integral 1(1+2x)^3 , dx = integral 1u^3 cdot du2 = 12 integral u^-3 , du e na nossa integral original:
Aqui, reescrevemos como para facilitar a integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar 12 integral u^-3 , du = 12 cdot ( u^-2-2 ) + C = -14 u^-2 + C em relação a . Lembrando que a integral de é , onde é a constante de integração:

Passo 6

Por fim, vamos voltar à variável original -14 u^-2 + C = -14 (1 + 2x)^-2 + C substituindo :

Resposta

integral 1(1+2x)^3 , dx = -14(1 + 2x)^2 + C

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