Considere a função dada por f(x)=e^x cos (x), para x in[-pi / 2, pi / 2]. Note que as únicas raízes de f são os pontos x=-pi / 2 e x=pi / 2.
Determine o ponto crítico e os intervalos de crescimento e decrescimento de f.

Passo 1

A função dada é f(x) = e^{x},cos(x) no intervalo [−π/2, π/2]. Para estudar monotonicidade, precisamos calcular a derivada de f, encontrar onde ela se anula (pontos críticos) e verificar o sinal de f’ nos intervalos.

Passo 2

Vamos derivar f usando a regra do produto (derivada de e^{x} é e^{x}, derivada de cos(x) é −sin(x)). Assim,
f'(x) = (e^x)'cos x + e^x(cos x)' = e^xcos x - e^xsin x = e^x(cos x - sin x)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos f’(x)=0. Como e^{x}>0 para todo x, basta resolver
cos x - sin x = 0 Longrightarrow tan x = 1
No intervalo [−π/2, π/2], a única solução é x=π/4.

Passo 4

Para determinar onde f’ é positiva ou negativa, observamos que e^{x}>0. Então o sinal de f’ vem de (\cos x−\sin x). Testando um ponto em cada intervalo:
  • Em x=0: \cos0−\sin0=1>0, logo f’>0 para x<π/4.
  • Em x=π/2: \cos(π/2)−\sin(π/2)=0−1<0, logo f’<0 para x>π/4.
    Portanto f é crescente até x=π/4 e decrescente depois.

Passo 5

Concluímos que o único ponto crítico interno é x=π/4, onde ocorre um máximo local. O comportamento de monotonicidade é:
  • f cresce em [−π/2, π/4].
  • f decresce em [π/4, π/2].

Resposta

Ponto crítico em x=π/4. f é crescente em [−π/2, π/4] e decrescente em [π/4, π/2].

Exercícios relacionados