Seja S3 o grupo das permutações de três elementos. Prove que
H=(lll 1 & 2 & 3 1 & 2 & 3 ),(lll 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 ),(lll 1 & 2 & 3 3 & 1 & 2 ),(lll 1 & 2 & 3 1 & 3 & 2 )
não é subgrupo de S3.

Passo 1

A questão quer mostrar que o conjunto
H = { e, (1 2 3), (1 3 2), (2 3) }
não é subgrupo de S₃. O conteúdo é teste de subgrupo: precisamos usar a definição que exige identidade, inversos e, sobretudo, fechadura no produto.

Passo 2

Primeiro, confirmamos que a identidade e os inversos estão em H. A identidade e =
1&2&31&2&3
está em H. Os inversos dos 3-ciclos são eles próprios permutações que também estão em H, e (2 3) é involutória, então seu inverso é ele mesmo, também em H.

Passo 3

O ponto crítico é a fechadura. Vamos calcular a composição de duas permutações que pertencem a H, por exemplo
(1;2;3)circ(2;3) = (1;2)
Aplicando primeiro (2 3) e depois (1 2 3), vemos:
  • 1 passa para 1 e depois para 2;
  • 2 passa para 3 e depois para 1;
  • 3 passa para 2 e depois para 3.
    Logo essa composição é a transposição (1 2), ou seja,
Mas (1 2) não pertence a H.

Passo 4

Como encontramos duas permutações em H cuja composição não está em H, concluímos que H falha na propriedade de fechadura. Portanto H não é subgrupo de S₃.

Resposta

H não é subgrupo de S₃ porque não é fechado sob composição: por exemplo, (1 2 3)∘(2 3) = (1 2) ∉ H.

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