Calcule a integral
onde
é a superfície de um cubo de arestas 1 e vértice no ponto (
). Verifique sua resposta usando o teorema do divergente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
onde
é a superfície de um cubo de arestas
com um vértice em
. As informações relevantes são:
- A aresta do cubo vale
. - Um vértice está em
. Assim o cubo pode ser entendido como o conjunto de pontos com
isto é, o volume
.
- A superfície
é a superfície fechada desse cubo (as seis faces). - A função vetorial envolvida é
.
O que se pede explicitamente: - Calcular
. - Verificar a resposta usando o teorema do divergente.
Passo 2
Vamos entender o integrando e como calcular diretamente a integral de superfície de um campo vetorial.
- Para um campo vetorial
, o elemento de área vetorial é , onde é o vetor normal unitário apontando para fora do volume e é a área escalar do elemento. - Aqui
. Então o integrando é . - O cubo tem seis faces planas:
, ; , ; , . Em cada face a normal é constante e a área de cada face é (aresta por ).
Calculamos a contribuição de fluxo
somando as seis faces:
- Face
. Normal exterior é . Em temos . Então
Logo a contribuição desta face é
.
- Face
. Normal exterior é . Em , então
Integrando sobre a face (área
) obtemos contribuição
.
-
Face
. Normal é . Em . Contribuição . -
Face
. Normal é . Em . Contribuição . -
Face
. Normal é . Em . Contribuição . -
Face
. Normal é . Em . Contribuição .
Somando as seis contribuições:
Portanto
Passo 3
Agora fazemos a verificação usando o teorema do divergente (teorema de Gauss). Vou enunciar a fórmula e aplicá-la:
- Teorema do divergente: para um campo vetorial
suficientemente suave e um volume com fronteira orientada externamente,
- Aqui
. Calculamos a divergência:
- Aplicando o teorema do divergente ao volume
:
- Multiplicando por
obtemos novamente
Passo 4
Conclusão: o cálculo direto (soma das contribuições das faces) e o cálculo pelo teorema do divergente concordam. O valor da integral dada é
. Força aí — deu certinho e é uma boa prática fazer a verificação pelo divergente quando o campo tem divergência simples.