Calcule a integral \frac{1}{3} \int_{S} \boldsymbol{r} \cdot d \boldsymbol{a} onde S é a superfície de um cubo de arestas 1 e vértice no ponto ( 0,0,0 ). Verifique sua resposta usando o teorema do divergente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de
\frac{1}{3}\int_{S}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{a},
onde S é a superfície de um cubo de arestas 1 com um vértice em (0,0,0). As informações relevantes são:
  • A aresta do cubo vale 1.
  • Um vértice está em (0,0,0). Assim o cubo pode ser entendido como o conjunto de pontos com
0\le x\le1,\qquad 0\le y\le1,\qquad 0\le z\le1,
isto é, o volume V=[0,1]^3.
  • A superfície S é a superfície fechada desse cubo (as seis faces).
  • A função vetorial envolvida é \boldsymbol{r}=\langle x,y,z\rangle.
    O que se pede explicitamente:
  • Calcular \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{S}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{a}.
  • Verificar a resposta usando o teorema do divergente.

Passo 2

Vamos entender o integrando e como calcular diretamente a integral de superfície de um campo vetorial.
  • Para um campo vetorial \boldsymbol{F}, o elemento de área vetorial é d\boldsymbol{a}=\boldsymbol{n}\,dA, onde \boldsymbol{n} é o vetor normal unitário apontando para fora do volume e dA é a área escalar do elemento.
  • Aqui \boldsymbol{F}=\boldsymbol{r}=\langle x,y,z\rangle. Então o integrando é \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{a}=\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}\,dA.
  • O cubo tem seis faces planas: x=0, x=1; y=0, y=1; z=0, z=1. Em cada face a normal é constante e a área de cada face é 1 (aresta 1 por 1).
Calculamos a contribuição de fluxo \displaystyle\Phi=\int_{S}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{a} somando as seis faces:
  1. Face x=0. Normal exterior é \boldsymbol{n}=(-1,0,0). Em x=0 temos \boldsymbol{r}=\langle0,y,z\rangle. Então
\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}= \langle0,y,z\rangle\cdot(-1,0,0)=0.
Logo a contribuição desta face é 0.
  1. Face x=1. Normal exterior é \boldsymbol{n}=(1,0,0). Em x=1 \boldsymbol{r}=\langle1,y,z\rangle, então
\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}=1.
Integrando sobre a face (área 1) obtemos contribuição 1.
  1. Face y=0. Normal é (0,-1,0). Em y=0 \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}=0. Contribuição 0.
  2. Face y=1. Normal é (0,1,0). Em y=1 \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}=1. Contribuição 1.
  3. Face z=0. Normal é (0,0,-1). Em z=0 \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}=0. Contribuição 0.
  4. Face z=1. Normal é (0,0,1). Em z=1 \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}=1. Contribuição 1.
Somando as seis contribuições:
\Phi=\;0+1+0+1+0+1=3.
Portanto
\frac{1}{3}\int_{S}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{a}=\frac{1}{3}\Phi=\frac{1}{3}\cdot 3 = 1.

Passo 3

Agora fazemos a verificação usando o teorema do divergente (teorema de Gauss). Vou enunciar a fórmula e aplicá-la:
  • Teorema do divergente: para um campo vetorial \boldsymbol{F} suficientemente suave e um volume V com fronteira S orientada externamente,
\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{a}=\iiint_{V}\nabla\cdot\boldsymbol{F}\\ dV.
  • Aqui \boldsymbol{F}=\boldsymbol{r}=\langle x,y,z\rangle. Calculamos a divergência:
\nabla\cdot\boldsymbol{r}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.
  • Aplicando o teorema do divergente ao volume V=[0,1]^3:
\iint_{S}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{a}=\iiint_{V} 3\\ dV = 3\cdot \operatorname{Vol}(V)=3\cdot 1=3.
  • Multiplicando por 1/3 obtemos novamente
\frac{1}{3}\int_{S}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{a}=\frac{1}{3}\cdot 3 = 1.

Passo 4

Conclusão: o cálculo direto (soma das contribuições das faces) e o cálculo pelo teorema do divergente concordam. O valor da integral dada é 1. Força aí — deu certinho e é uma boa prática fazer a verificação pelo divergente quando o campo tem divergência simples.

Resposta

1

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