Se
e
são vetores constantes, mostre que
. .
Passo 1
O enunciado dá:
- Dois vetores constantes
e . - O vetor posição
.
Pede-se mostrar que a função escalar
satisfaz
Informações relevantes dadas:
e
são constantes (portanto suas componentes não dependem de
) e
tem componentes
.
Passo 2
Lembrete das definições úteis (passo-a-passo, sem pressa):
- O operador gradiente é
Aplica-se a uma função escalar
para dar o vetor
cujas componentes são as derivadas parciais de
.
- O vetor posição é
- Produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois) satisfaz a identidade cíclica
Explicação curta dessa identidade: o produto misto pode ser escrito como determinante das componentes (por exemplo
), e permutar ciclicamente as colunas do determinante não altera seu valor; por isso pode trocar a ordem para ficar
.
Passo 3
Use a identidade do passo anterior para reescrever a função escalar de forma mais simples. Defina o vetor constante
Como
e
são constantes,
também é constante (suas componentes não dependem de
). Então
Passo 4
Escreva
em componentes. Se
, então
Agora calcule o gradiente componente a componente:
Portanto
Passo 5
Voltando à notação original,
. Logo
Comentário curto e prático: a ideia-chave é reconhecer que
é linear em
com coeficientes constantes (as componentes de
), então o gradiente retorna exatamente esse vetor constante.