Se \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} são vetores constantes, mostre que \nabla(\boldsymbol{A} \cdot(\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{r}))=\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}. .

Passo 1

O enunciado dá:
  • Dois vetores constantes \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B}.
  • O vetor posição \boldsymbol{r}=(x,y,z).
    Pede-se mostrar que a função escalar
\varphi(\boldsymbol{r})=\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{r})
satisfaz
\nabla\bigl(\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{r})\bigr)=\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}.
Informações relevantes dadas: \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} são constantes (portanto suas componentes não dependem de x,y,z) e \boldsymbol{r} tem componentes x,y,z.

Passo 2

Lembrete das definições úteis (passo-a-passo, sem pressa):
  • O operador gradiente é
\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right).
Aplica-se a uma função escalar \varphi(x,y,z) para dar o vetor \nabla\varphi cujas componentes são as derivadas parciais de \varphi.
  • O vetor posição é
\boldsymbol{r}=(x,y,z).
  • Produto misto (produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois) satisfaz a identidade cíclica
\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{r})=\boldsymbol{r}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}).
Explicação curta dessa identidade: o produto misto pode ser escrito como determinante das componentes (por exemplo \det[\boldsymbol{A}\;\boldsymbol{B}\;\boldsymbol{r}]), e permutar ciclicamente as colunas do determinante não altera seu valor; por isso pode trocar a ordem para ficar \boldsymbol{r}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}).

Passo 3

Use a identidade do passo anterior para reescrever a função escalar de forma mais simples. Defina o vetor constante
\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}.
Como \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} são constantes, \boldsymbol{C} também é constante (suas componentes não dependem de x,y,z). Então
\varphi(\boldsymbol{r})=\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{r})=\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{C}.

Passo 4

Escreva \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{C} em componentes. Se \boldsymbol{C}=(C_x,C_y,C_z), então
\varphi(x,y,z)=\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{C}=x\,C_x+y\,C_y+z\,C_z.
Agora calcule o gradiente componente a componente:
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=C_x,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=C_y,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=C_z.
Portanto
\nabla\varphi=(C_x,C_y,C_z)=\boldsymbol{C}.

Passo 5

Voltando à notação original, \boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}. Logo
\nabla\bigl(\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{r})\bigr)=\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}.
Comentário curto e prático: a ideia-chave é reconhecer que \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{r}) é linear em x,y,z com coeficientes constantes (as componentes de \boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}), então o gradiente retorna exatamente esse vetor constante.

Resposta

\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}

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