Demonstre que
\int_{V} f(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A}) d \tau=-\int_{V} \boldsymbol{A} \cdot(\boldsymbol{\nabla} f) d \tau+\oint f \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{a}
para qualquer função f e campo vetorial \boldsymbol{A}. Em seguida, use este resultado para calcular a integral
\int_{V} e^{-r} \boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}} d \tau
onde V é o volume de uma esfera de raio R. Repita o cálculo usando o fato de que \nabla \cdot \hat{\boldsymbol{r}} / r^{2}=4 \pi \delta^{(3)}(\boldsymbol{r}) e compare os resultados.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Demonstrar a identidade
\int_{V} f(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A})\, d \tau=-\int_{V} \boldsymbol{A} \cdot(\boldsymbol{\nabla} f)\, d \tau+\oint f\, \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{a}
para qualquer função escalar f e campo vetorial \boldsymbol{A}.
  • Usar esse resultado para calcular
\int_{V} e^{-r}\, \boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\, d \tau
onde V é o volume de uma esfera de raio R. Depois repetir o cálculo usando \boldsymbol{\nabla}\cdot(\hat{\boldsymbol{r}}/r^{2})=4\pi \delta^{(3)}(\boldsymbol{r}) e comparar.
Informações/dados relevantes:
  • d\tau é o elemento de volume (em coordenadas esféricas d\tau=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi).
  • d\boldsymbol{a}=\hat{\boldsymbol{n}}\,da é o elemento de área sobre a superfície \partial V (para a esfera de raio R a normal é \hat{\boldsymbol{r}} e da=R^{2} d\Omega).
  • A identidade a provar envolve o teorema da divergência e a regra do produto para divergência.

Passo 2

Demonstração da identidade passo a passo (a ideia é aplicar a regra do produto e depois o teorema da divergência).
  1. Regra do produto para divergência. Para uma função escalar f(\boldsymbol{r}) e um campo vetorial \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) vale a identidade pontual
\boldsymbol{\nabla}\cdot\big(f\,\boldsymbol{A}\big)=f\,(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})+\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla} f).
Aqui \boldsymbol{\nabla}\cdot é a divergência e \boldsymbol{\nabla} f é o gradiente de f. Essa identidade é análoga à regra do produto para derivadas escalares, aplicada componente a componente.
  1. Reescrevendo a identidade do item anterior isolando f(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}) obtém-se
f\,(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})=\boldsymbol{\nabla}\cdot\big(f\,\boldsymbol{A}\big)-\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla} f).
  1. Integrando ambos os lados sobre o volume V:
\int_{V} f\,(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})\, d\tau =\int_{V} \boldsymbol{\nabla}\cdot\big(f\,\boldsymbol{A}\big)\, d\tau -\int_{V} \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla} f)\, d\tau.
  1. Aplicando o teorema da divergência (também chamado teorema de Gauss): para qualquer campo vetorial \boldsymbol{F},
\int_{V} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{F}\, d\tau=\oint_{\partial V}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{a},
onde a integral de superfície é sobre a fronteira \partial V com d\boldsymbol{a} apontando para fora. Tomando \boldsymbol{F}=f\,\boldsymbol{A} na fórmula do item 3 obtemos
\int_{V} f\,(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A})\, d\tau =\oint_{\partial V} f\,\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{a} -\int_{V} \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla} f)\, d\tau.
  1. Reorganizando os termos chegamos exatamente à identidade requerida:
\int_{V} f(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A})\, d \tau=-\int_{V} \boldsymbol{A} \cdot(\boldsymbol{\nabla} f)\, d \tau+\oint_{\partial V} f\, \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{a}.
Comentário: aqui foi usada apenas a regra do produto para divergência e o teorema da divergência; as notações foram explicadas acima.

Passo 3

Agora aplico a identidade ao caso específico f(\boldsymbol{r})=e^{-r} e \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r})=\dfrac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}, com V a bola de raio R.
  1. Calcular \boldsymbol{\nabla} f. Para uma função radial f(r) tem-se
\boldsymbol{\nabla} f(r)=\frac{df}{dr}\,\hat{\boldsymbol{r}}.
No nosso caso f(r)=e^{-r} logo
\frac{df}{dr}=-e^{-r}\quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{\nabla} f=-e^{-r}\,\hat{\boldsymbol{r}}.
  1. Calcular o produto escalar \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla} f):
\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla} f) =\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\cdot\big(-e^{-r}\hat{\boldsymbol{r}}\big) =-\frac{e^{-r}}{r^{2}}.
  1. Pela identidade provada,
\int_{V} e^{-r}\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\, d\tau =-\int_{V} \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\cdot(\boldsymbol{\nabla} e^{-r})\, d\tau +\oint_{\partial V} e^{-r}\,\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\cdot d\boldsymbol{a}.
Substituindo o produto escalar do item anterior:
\int_{V} e^{-r}\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\, d\tau =-\int_{V}\Big(-\frac{e^{-r}}{r^{2}}\Big)\, d\tau +\oint_{\partial V} e^{-r}\,\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\cdot d\boldsymbol{a}.
Isto simplifica para
\int_{V} e^{-r}\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\, d\tau =\int_{V}\frac{e^{-r}}{r^{2}}\, d\tau +\oint_{\partial V} e^{-r}\,\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\cdot d\boldsymbol{a}.
  1. Calcular cada termo separadamente. Primeiro o volume:
    usar coordenadas esféricas d\tau=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. O integrando \dfrac{e^{-r}}{r^{2}} multiplicado por d\tau cancela os r^{2}, então
\int_{V}\frac{e^{-r}}{r^{2}}\, d\tau =\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{-r}}{r^{2}}\; r^{2}\sin\theta\, d\varphi\, d\theta\, dr =\left(\int_{0}^{R} e^{-r}\, dr\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta\right)\left(\int_{0}^{2\pi} d\varphi\right).
Avaliar as integrais:
\int_{0}^{R} e^{-r}\, dr=1-e^{-R},\qquad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta=2,\qquad \int_{0}^{2\pi} d\varphi=2\pi.
Logo
\int_{V}\frac{e^{-r}}{r^{2}}\, d\tau= (1-e^{-R})\cdot 2\cdot 2\pi =4\pi(1-e^{-R}).
  1. Agora a integral de superfície. Na superfície da esfera r=R temos d\boldsymbol{a}=\hat{\boldsymbol{r}}\,R^{2}d\Omega (onde d\Omega=\sin\theta\, d\theta\, d\varphi). Também \boldsymbol{A}=\hat{\boldsymbol{r}}/R^{2} e f=e^{-R} constantes sobre a superfície, então
\oint_{\partial V} e^{-r}\,\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\cdot d\boldsymbol{a} = e^{-R}\oint_{\partial V}\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{R^{2}}\cdot(\hat{\boldsymbol{r}} R^{2} d\Omega) = e^{-R}\oint_{\partial V} d\Omega = e^{-R}\cdot 4\pi.
  1. Somando os dois termos:
\int_{V} e^{-r}\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\, d\tau =4\pi(1-e^{-R})+4\pi e^{-R}=4\pi.
Portanto, o resultado obtido por este método é \;4\pi.
Observação sobre o ponto r=0: embora \hat{\boldsymbol{r}}/r^{2} seja singular em r=0, o integrando efetivo na parte volumétrica ficou regular porque o fator r^{2} do elemento de volume cancela a 1/r^{2}. O uso cuidadoso de coordenadas esféricas mostra que a integral de volume é bem definida e finita.

Passo 4

Repetir o cálculo usando a identidade com o delta de Dirac.
É conhecida a identidade (em sentido de distribuições)
\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}=4\pi\,\delta^{(3)}(\boldsymbol{r}),
onde \delta^{(3)}(\boldsymbol{r}) é a delta de Dirac tridimensional centrada na origem. Então
\int_{V} e^{-r}\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\, d\tau =4\pi\int_{V} e^{-r}\,\delta^{(3)}(\boldsymbol{r})\, d\tau.
Pela propriedade da delta, a integral de uma função multiplicada por \delta^{(3)}(\boldsymbol{r}) avalia a função na origem:
\int_{V} e^{-r}\,\delta^{(3)}(\boldsymbol{r})\, d\tau = e^{0}=1,
desde que a origem esteja dentro de V (é o caso aqui). Assim obtemos
\int_{V} e^{-r}\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\, d\tau =4\pi.

Passo 5

Comparação dos resultados: o cálculo direto usando a identidade demonstrada (com tratamento explícito na origem) deu \;4\pi. O cálculo usando a expressão com delta de Dirac também deu \;4\pi. Os dois métodos coincidem, como esperado. Isso ilustra que a singularidade em r=0 é corretamente representada pela distribuição 4\pi\delta^{(3)}(\boldsymbol{r}).

Resposta

\int_{V} f(\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A})\, d \tau=-\int_{V} \boldsymbol{A} \cdot(\boldsymbol{\nabla} f)\, d \tau+\oint f\, \boldsymbol{A} \cdot d \boldsymbol{a}
\int_{V} e^{-r}\, \boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\hat{\boldsymbol{r}}}{r^{2}}\, d \tau = 4\pi

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