Demonstre que
para qualquer função
e campo vetorial
. Em seguida, use este resultado para calcular a integral
onde
é o volume de uma esfera de raio
. Repita o cálculo usando o fato de que
e compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Demonstrar a identidade
para qualquer função escalar
e campo vetorial
.
- Usar esse resultado para calcular
onde
é o volume de uma esfera de raio
. Depois repetir o cálculo usando
e comparar.
Informações/dados relevantes:
-
é o elemento de volume (em coordenadas esféricas ). -
é o elemento de área sobre a superfície (para a esfera de raio a normal é e ). - A identidade a provar envolve o teorema da divergência e a regra do produto para divergência.
Passo 2
Demonstração da identidade passo a passo (a ideia é aplicar a regra do produto e depois o teorema da divergência).
- Regra do produto para divergência. Para uma função escalar
e um campo vetorial vale a identidade pontual
Aqui
é a divergência e
é o gradiente de
. Essa identidade é análoga à regra do produto para derivadas escalares, aplicada componente a componente.
- Reescrevendo a identidade do item anterior isolando
obtém-se
- Integrando ambos os lados sobre o volume
:
- Aplicando o teorema da divergência (também chamado teorema de Gauss): para qualquer campo vetorial
,
onde a integral de superfície é sobre a fronteira
com
apontando para fora. Tomando
na fórmula do item 3 obtemos
- Reorganizando os termos chegamos exatamente à identidade requerida:
Comentário: aqui foi usada apenas a regra do produto para divergência e o teorema da divergência; as notações foram explicadas acima.
Passo 3
Agora aplico a identidade ao caso específico
e
, com
a bola de raio
.
- Calcular
. Para uma função radial tem-se
No nosso caso
logo
- Calcular o produto escalar
:
- Pela identidade provada,
Substituindo o produto escalar do item anterior:
Isto simplifica para
- Calcular cada termo separadamente. Primeiro o volume:
usar coordenadas esféricas. O integrando multiplicado por cancela os , então
Avaliar as integrais:
Logo
- Agora a integral de superfície. Na superfície da esfera
temos (onde ). Também e constantes sobre a superfície, então
- Somando os dois termos:
Portanto, o resultado obtido por este método é
.
Observação sobre o ponto
: embora
seja singular em
, o integrando efetivo na parte volumétrica ficou regular porque o fator
do elemento de volume cancela a
. O uso cuidadoso de coordenadas esféricas mostra que a integral de volume é bem definida e finita.
Passo 4
Repetir o cálculo usando a identidade com o delta de Dirac.
É conhecida a identidade (em sentido de distribuições)
onde
é a delta de Dirac tridimensional centrada na origem. Então
Pela propriedade da delta, a integral de uma função multiplicada por
avalia a função na origem:
desde que a origem esteja dentro de
(é o caso aqui). Assim obtemos
Passo 5
Comparação dos resultados: o cálculo direto usando a identidade demonstrada (com tratamento explícito na origem) deu
. O cálculo usando a expressão com delta de Dirac também deu
. Os dois métodos coincidem, como esperado. Isso ilustra que a singularidade em
é corretamente representada pela distribuição
.