Calcule a integral da função por partes.
integral0^2 f(x) d x onde f(x)= x, & x <= 1 x^2, & x>1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral da função $ f(x) $ no intervalo de 0 a 2. A função é definida de forma diferente dependendo do valor de $ x $:
f(x)
Para resolver isso, vamos precisar dividir a integral em duas partes, já que a função muda de expressão no ponto $ x = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral original em duas partes, correspondendo aos intervalos onde a função $ f(x) $ tem definições diferentes. Assim, teremos:
f(x)
Dessa forma, a gente calcula cada parte separadamente e depois soma os resultados.

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral:
integral0^1 x , dx
Para integrar $ x $, usamos a regra básica de integração, que diz que:
x
Onde $ C $ é a constante de integração. Porém, como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração:
integral x , dx = x^22 + C
Então, a primeira parte da integral vale $ \frac{1}{2} $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral1^2 x^2 , dx
Para integrar $ x^{2} $, usamos a regra de integração que diz:
x^2
No nosso caso, $ n = 2 $:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando os limites de integração:
n = 2
Então, a segunda parte da integral vale $ \frac{7}{3} $.

Passo 5

Agora, vamos somar os resultados das duas integrais que calculamos:
12 + 73
Para somar frações, precisamos de denominadores iguais. O mínimo múltiplo comum entre 2 e 3 é 6. Então, vamos converter as frações:
12 = 36 e 73 = 146
Agora, somamos:
36 + 146 = 176

Resposta

A integral de $ f(x) $ de 0 a 2 é:
f(x)

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