Calcule a integral da função por partes.
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral da função $ f(x) $ no intervalo de 0 a 2. A função é definida de forma diferente dependendo do valor de $ x $:
Para resolver isso, vamos precisar dividir a integral em duas partes, já que a função muda de expressão no ponto $ x = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a integral original em duas partes, correspondendo aos intervalos onde a função $ f(x) $ tem definições diferentes. Assim, teremos:
Dessa forma, a gente calcula cada parte separadamente e depois soma os resultados.
Passo 3
Vamos calcular a primeira integral:
Para integrar $ x $, usamos a regra básica de integração, que diz que:
Onde $ C $ é a constante de integração. Porém, como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração:
Então, a primeira parte da integral vale $ \frac{1}{2} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Para integrar $ x^{2} $, usamos a regra de integração que diz:
No nosso caso, $ n = 2 $:
Aplicando os limites de integração:
Então, a segunda parte da integral vale $ \frac{7}{3} $.
Passo 5
Agora, vamos somar os resultados das duas integrais que calculamos:
Para somar frações, precisamos de denominadores iguais. O mínimo múltiplo comum entre 2 e 3 é 6. Então, vamos converter as frações:
Agora, somamos:
Resposta
A integral de $ f(x) $ de 0 a 2 é: