Calcule a integral:
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
Informações dadas que vamos usar:
- A função a integrar é
. - A região
é um retângulo com variando de a e variando de a .
O que se pede: calcular o valor numérico da integral dupla sobre.
Passo 2
Conceitos e propriedades que vamos usar (explicados de forma simples):
- Integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como integral iterada (Fubini): integrar em uma variável mantendo a outra fixa e depois integrar o resultado. Ou seja, se
, então
ou trocando a ordem das integrais.
- Linearidade da integral:
e constantes saem da integral. - Ao integrar em relação a
, trate como constante, e vice-versa.
Vou seguir a ordem indicada no enunciado: integrar primeiro em (com fixo) e depois em .
Passo 3
Escrevendo a integral iterada conforme a ordem
:
Agora calculamos a integral interna
. Aqui
é constante, então usamos antiderivadas em
:
- Antiderivada de
em é porque . - Antiderivada de
em é porque é constante.
Logo,
Passo 4
Avaliação da primitiva nos limites:
Portanto a integral dupla reduz-se à integral em
:
Passo 5
Calcular agora a integral em
. Antiderivadas em
:
- Antiderivada de
é . - Antiderivada de
é porque .
Assim
Passo 6
Verificação alternativa (útil na prova): separar a integral usando linearidade e o fato de
ser retângulo:
Para retângulo,
.
Logo .
E .
Logo .
Somando , confirmando o resultado anterior.
Logo
E
Logo
Somando