Calcule a integral:
\iint_{R}(5 x+2 y) d x d y
onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}(5 x+2 y)\,d x\,d y
onde a região R é o retângulo
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0 \leq x \leq 2,\;0 \leq y \leq 1\}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função a integrar é f(x,y)=5x+2y.
  • A região R é um retângulo com x variando de 0 a 2 e y variando de 0 a 1.
    O que se pede: calcular o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Integral dupla sobre um retângulo pode ser calculada como integral iterada (Fubini): integrar em uma variável mantendo a outra fixa e depois integrar o resultado. Ou seja, se R=[a,b]\times[c,d], então
\iint_R g(x,y)\,dx\,dy=\int_{y=c}^{d}\left(\int_{x=a}^{b} g(x,y)\,dx\right)dy
ou trocando a ordem das integrais.
  • Linearidade da integral: \iint_R (g+h)=\iint_R g+\iint_R h e constantes saem da integral.
  • Ao integrar em relação a x, trate y como constante, e vice-versa.
    Vou seguir a ordem indicada no enunciado d x\,d y: integrar primeiro em x (com y fixo) e depois em y.

Passo 3

Escrevendo a integral iterada conforme a ordem d x\,d y:
\iint_{R}(5x+2y)\,dx\,dy=\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{2} (5x+2y)\,dx\right)dy.
Agora calculamos a integral interna \displaystyle \int_{0}^{2} (5x+2y)\,dx. Aqui y é constante, então usamos antiderivadas em x:
  • Antiderivada de 5x em x é \dfrac{5}{2}x^{2} porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{5}{2}x^{2}\right)=5x.
  • Antiderivada de 2y em x é 2y\cdot x porque y é constante.
    Logo,
\int_{0}^{2} (5x+2y)\,dx=\left[\dfrac{5}{2}x^{2}+2y x\right]_{x=0}^{x=2}.

Passo 4

Avaliação da primitiva nos limites:
\left[\dfrac{5}{2}x^{2}+2y x\right]_{0}^{2}=\left(\dfrac{5}{2}\cdot 2^{2}+2y\cdot 2\right)-0 =\dfrac{5}{2}\cdot 4 +4y=10+4y.
Portanto a integral dupla reduz-se à integral em y:
\int_{0}^{1} (10+4y)\,dy.

Passo 5

Calcular agora a integral em y. Antiderivadas em y:
  • Antiderivada de 10 é 10y.
  • Antiderivada de 4y é 2y^{2} porque \dfrac{d}{dy}(2y^{2})=4y.
    Assim
\int_{0}^{1} (10+4y)\,dy=\left[10y+2y^{2}\right]_{0}^{1}=10\cdot 1 + 2\cdot 1^{2}-0=10+2=12.

Passo 6

Verificação alternativa (útil na prova): separar a integral usando linearidade e o fato de R ser retângulo:
\iint_R (5x+2y)\,dA = 5\iint_R x\,dA + 2\iint_R y\,dA.
Para retângulo, \iint_R x\,dA = \left(\int_{0}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} dy\right)=\left[\dfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{2}\cdot 1=2.
Logo 5\cdot 2=10.
E \iint_R y\,dA = \left(\int_{0}^{2} dx\right)\left(\int_{0}^{1} y\,dy\right)=2\cdot\left[\dfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{1}=2\cdot \dfrac{1}{2}=1.
Logo 2\cdot 1=2.
Somando 10+2=12, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\;12

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