Calcule:
\int_{1}^{2} \int_{0}^{1}\left(x^{2}+y\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{1}^{2}\int_{0}^{1}\left(x^{2}+y\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A integração interna é em x com x variando de 0 a 1.
  • A integração externa é em y com y variando de 1 a 2.
  • A função a ser integrada é \;x^{2}+y\;.

Passo 2

Interpretação e ideia de resolução (de forma didática e tranquila).
  • A integral é sobre o retângulo R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;1\le y\le2\}. Como a função x^{2}+y é contínua nesse retângulo, podemos calcular a integral iterando: primeiro integrar em x (tratando y como constante), e depois integrar o resultado em y.
  • Regra importante que vamos usar: ao integrar em x, qualquer expressão que não dependa de x (por exemplo y) é vista como constante. E a primitiva de x^{n} em relação a x é
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(\text{para }n\neq-1).

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+y\right)\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}\,dx+\int_{0}^{1}y\,dx.
Usando \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3} e lembrando que y é constante frente a x, logo \int y\,dx=yx. Assim,
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1}{3},
\int_{0}^{1}y\,dx=\left.yx\right|_{0}^{1}=y\cdot 1 - y\cdot 0 = y.
Somando:
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+y\right)\,dx = y+\frac{1}{3}.

Passo 4

Agora integraremos o resultado em y no intervalo [1,2]. Recordando as primitivas:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2},\qquad \int \frac{1}{3}\,dy=\frac{1}{3}y.
Então
\int_{1}^{2}\left(y+\frac{1}{3}\right)\,dy = \left.\left(\frac{y^{2}}{2}+\frac{1}{3}y\right)\right|_{1}^{2}.
Calcule as duas avaliações:
  • Para y=2:
\frac{2^{2}}{2}+\frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{4}{2}+\frac{2}{3}=2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.
  • Para y=1:
\frac{1^{2}}{2}+\frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}.
Subtraindo:
\frac{8}{3}-\frac{5}{6}=\frac{16}{6}-\frac{5}{6}=\frac{11}{6}.

Passo 5

Verificação rápida (sanidade): o valor \dfrac{11}{6}\approx 1{,}8333 é plausível para integrar uma função que, em média no retângulo, tem valor entre x^{2}\in[0,1] e y\in[1,2]. Tudo consistente.

Resposta

\dfrac{11}{6}

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