Calcular as integrais:
\int \sin ^{2}(x) \cos ^{4}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{2}(x)\cos^{4}(x)\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de potências de seno e cosseno, com expoentes pares ( 2 e 4). O objetivo é encontrar uma primitiva (função cuja derivada é a integranda), mais uma constante de integração.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem resolver ainda): quando aparecem potências pares de seno e cosseno, uma forma direta é usar as identidades de redução de potência:
\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2},\qquad \cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Essas identidades transformam produtos de potências em combinações de cossenos de múltiplos de x, que são fáceis de integrar termo a termo. Vou aplicar essas identidades para escrever a integranda como soma de cossenos com coeficientes.

Passo 3

Primeiro, escrevo \cos^{4}(x) usando \cos^{2}(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}. Temos:
\cos^{4}(x)=\big(\cos^{2}(x)\big)^{2}=\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^{2}.
Agora desenvolvo o quadrado:
\cos^{4}(x)=\frac{1}{4}\big(1+2\cos(2x)+\cos^{2}(2x)\big).
Em seguida uso \cos^{2}(2x)=\dfrac{1+\cos(4x)}{2} para eliminar o quadrado:
\cos^{4}(x)=\frac{1}{4}\left(1+2\cos(2x)+\frac{1+\cos(4x)}{2}\right).

Passo 4

Continuo simplificando a expressão de \cos^{4}(x). Dentro do parêntese ficou
1+2\cos(2x)+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(4x)=\frac{3}{2}+2\cos(2x)+\frac{1}{2}\cos(4x).
Multiplicando por \dfrac{1}{4}:
\cos^{4}(x)=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x).

Passo 5

Agora uso \sin^{2}(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2} e multiplico por \cos^{4}(x):
\sin^{2}(x)\cos^{4}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)\right).
Vou expandir e simplificar termo a termo.

Passo 6

Expando a multiplicação. Primeiro a parte com 1 multiplicando:
\frac{1}{2}\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)\right)=\frac{3}{16}+\frac{1}{4}\cos(2x)+\frac{1}{16}\cos(4x).
Agora a parte com -\cos(2x) multiplicando (lembrando do sinal menos):
-\frac{1}{2}\cos(2x)\left(\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{8}\cos(4x)\right) =-\frac{3}{16}\cos(2x)-\frac{1}{4}\cos^{2}(2x)-\frac{1}{16}\cos(2x)\cos(4x).
Somando as duas partes obtemos:
\sin^{2}(x)\cos^{4}(x)=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{16}\right)\cos(2x)+\frac{1}{16}\cos(4x)-\frac{1}{4}\cos^{2}(2x)-\frac{1}{16}\cos(2x)\cos(4x).

Passo 7

Simplifico os coeficientes e uso identidades para eliminar produtos e quadrados de cossenos:
\frac{1}{4}-\frac{3}{16}=\frac{1}{16}.
Além disso,
\cos^{2}(2x)=\frac{1+\cos(4x)}{2},
e
\cos(2x)\cos(4x)=\frac{1}{2}\big(\cos(6x)+\cos(2x)\big).
Substituo essas expressões na igualdade do passo anterior.

Passo 8

Substituindo e simplificando os termos chego a:
\sin^{2}(x)\cos^{4}(x)=\frac{1}{16}+\frac{1}{32}\cos(2x)-\frac{1}{16}\cos(4x)-\frac{1}{32}\cos(6x).
Essa é uma soma de termos simples (constante e cossenos de múltiplos), pronta para integrar termo a termo.

Passo 9

Integro cada termo separadamente, lembrando que \displaystyle\int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx):
\int \frac{1}{16}\,dx=\frac{x}{16},
\int \frac{1}{32}\cos(2x)\,dx=\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{64}\sin(2x),
\int -\frac{1}{16}\cos(4x)\,dx=-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{4}\sin(4x)=-\frac{1}{64}\sin(4x),
\int -\frac{1}{32}\cos(6x)\,dx=-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{6}\sin(6x)=-\frac{1}{192}\sin(6x).

Passo 10

Somando todas as primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos uma primitiva para a integranda:
\int \sin^{2}(x)\cos^{4}(x)\,dx=\frac{x}{16}+\frac{1}{64}\sin(2x)-\frac{1}{64}\sin(4x)-\frac{1}{192}\sin(6x)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{16}+\frac{1}{64}\sin(2x)-\frac{1}{64}\sin(4x)-\frac{1}{192}\sin(6x)+C

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