Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de potências de seno e cosseno, com expoentes pares (
e
). O objetivo é encontrar uma primitiva (função cuja derivada é a integranda), mais uma constante de integração.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem resolver ainda): quando aparecem potências pares de seno e cosseno, uma forma direta é usar as identidades de redução de potência:
Essas identidades transformam produtos de potências em combinações de cossenos de múltiplos de
, que são fáceis de integrar termo a termo. Vou aplicar essas identidades para escrever a integranda como soma de cossenos com coeficientes.
Passo 3
Primeiro, escrevo
usando
. Temos:
Agora desenvolvo o quadrado:
Em seguida uso
para eliminar o quadrado:
Passo 4
Continuo simplificando a expressão de
. Dentro do parêntese ficou
Multiplicando por
:
Passo 5
Agora uso
e multiplico por
:
Vou expandir e simplificar termo a termo.
Passo 6
Expando a multiplicação. Primeiro a parte com
multiplicando:
Agora a parte com
multiplicando (lembrando do sinal menos):
Somando as duas partes obtemos:
Passo 7
Simplifico os coeficientes e uso identidades para eliminar produtos e quadrados de cossenos:
Além disso,
e
Substituo essas expressões na igualdade do passo anterior.
Passo 8
Substituindo e simplificando os termos chego a:
Essa é uma soma de termos simples (constante e cossenos de múltiplos), pronta para integrar termo a termo.
Passo 9
Integro cada termo separadamente, lembrando que
:
Passo 10
Somando todas as primitivas e incluindo a constante de integração
, obtemos uma primitiva para a integranda: