Determinar a área da região limitada pela curva
e retas
. Fazer um esboço da região.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A curva é
. - As retas são
e . - A área pedida é a porção do plano que fica fechada por essas três curvas.
Passo 2
Esboço e identificação dos elementos importantes (descrição para você desenhar):\n
- A equação
é uma parábola com eixo horizontal (abre para a esquerda), vértice em e interceptos com o eixo quando , ou seja em e .\n - A reta
é o eixo (vertical).\n - A reta
é uma horizontal que corta a parábola em , isto é no ponto , e corta no ponto .\n
Assim, a região limitada é a “fatia” entre a parábola e o eixo, com variando de até . Os vértices que fecham a região são , e . Faça um desenho com a parábola, marque os pontos , , e trace a região entre eles.
Passo 3
Escolha do método de cálculo da área e justificativa didática:\n
- A curva está dada como
em função de ( ). Nessas situações é mais direto integrar em relação a : para cada entre dois valores, a seção horizontal da região é um segmento entre a abscissa esquerda e a abscissa direita .\n - Fórmula básica: a área de uma região limitada por duas curvas escritas como
(à direita) e (à esquerda), entre e , é
Explicação rápida do porquê: uma fatia horizontal de espessura
tem comprimento aproximado
, então área da fatia é
; somando (integrando) de
a
obtemos a área total.
Passo 4
Determinar os limites de integração (valores de
):\n
- Interseção entre a parábola e
: resolver dá
Para fechar a região junto com
, usamos o segmento em que
vai de
até
.\n
- Verificação: em
a parábola tem , ponto ; em a parábola cruza no ponto . Assim os limites são e .
Passo 5
Montar a integral que dá a área:\n
A abscissa direita é e a esquerda é
. Portanto
A abscissa direita é
Passo 6
Calcular a integral passo a passo:\n
- Antiderivada de
em relação a é .\n - Antiderivada de
é .\n
Logo uma primitiva deé . Avaliando nos limites:
Calcule valor em
:
Calcule valor em
:
Subtraindo:
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida:\n
- O resultado é positivo e pequeno, coerente com a pequena “fatia” entre
e .\n - Portanto a área da região pedida é
.