Determinar a área da região limitada pela curva x=4-y^{2} e retas \mathrm{x}=0 \mathrm{e} y=-1. Fazer um esboço da região.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas x=4-y^{2}, x=0 e y=-1.\n
Informações dadas:
  • A curva é \;x=4-y^{2}\;.
  • As retas são \;x=0\; e \;y=-1\;.
  • A área pedida é a porção do plano que fica fechada por essas três curvas.

Passo 2

Esboço e identificação dos elementos importantes (descrição para você desenhar):\n
  • A equação \;x=4-y^{2}\; é uma parábola com eixo horizontal (abre para a esquerda), vértice em (4,0) e interceptos com o eixo x=0 quando 4-y^{2}=0, ou seja em (0,2) e (0,-2).\n
  • A reta \;x=0\; é o eixo y (vertical).\n
  • A reta \;y=-1\; é uma horizontal que corta a parábola em x=4-(-1)^{2}=3, isto é no ponto (3,-1), e corta x=0 no ponto (0,-1).\n
    Assim, a região limitada é a “fatia” entre a parábola e o eixo y, com y variando de -2 até -1. Os vértices que fecham a região são (0,-2), (0,-1) e (3,-1). Faça um desenho com a parábola, marque os pontos (0,-2), (0,-1), (3,-1) e trace a região entre eles.

Passo 3

Escolha do método de cálculo da área e justificativa didática:\n
  • A curva está dada como x em função de y ( x=g(y)). Nessas situações é mais direto integrar em relação a y: para cada y entre dois valores, a seção horizontal da região é um segmento entre a abscissa esquerda x_{\text{esq}}=0 e a abscissa direita x_{\text{dir}}=4-y^{2}.\n
  • Fórmula básica: a área de uma região limitada por duas curvas escritas como x=g(y) (à direita) e x=h(y) (à esquerda), entre y=a e y=b, é
A=\int_{a}^{b} \bigl(g(y)-h(y)\bigr)\,dy.
Explicação rápida do porquê: uma fatia horizontal de espessura dy tem comprimento aproximado g(y)-h(y), então área da fatia é (g(y)-h(y))\,dy; somando (integrando) de a a b obtemos a área total.

Passo 4

Determinar os limites de integração (valores de y):\n
  • Interseção entre a parábola e x=0: resolver 4-y^{2}=0
y^{2}=4 \implies y=\pm 2.
Para fechar a região junto com y=-1, usamos o segmento em que y vai de -2 até -1.\n
  • Verificação: em y=-1 a parábola tem x=4-1=3, ponto (3,-1); em y=-2 a parábola cruza x=0 no ponto (0,-2). Assim os limites são a=-2 e b=-1.

Passo 5

Montar a integral que dá a área:\n
A abscissa direita é g(y)=4-y^{2} e a esquerda é h(y)=0. Portanto
A=\int_{-2}^{-1} \bigl(4-y^{2}-0\bigr)\,dy =\int_{-2}^{-1} \bigl(4-y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo:\n
  • Antiderivada de 4 em relação a y é 4y.\n
  • Antiderivada de y^{2} é \dfrac{y^{3}}{3}.\n
    Logo uma primitiva de 4-y^{2} é 4y-\dfrac{y^{3}}{3}. Avaliando nos limites:
A=\left[4y-\frac{y^{3}}{3}\right]_{-2}^{-1}.
Calcule valor em y=-1:
4(-1)-\frac{(-1)^{3}}{3}=-4-\frac{-1}{3}=-4+\frac{1}{3}=-\frac{12}{3}+\frac{1}{3}=-\frac{11}{3}.
Calcule valor em y=-2:
4(-2)-\frac{(-2)^{3}}{3}=-8-\frac{-8}{3}=-8+\frac{8}{3}=-\frac{24}{3}+\frac{8}{3}=-\frac{16}{3}.
Subtraindo:
A=\Bigl(-\frac{11}{3}\Bigr)-\Bigl(-\frac{16}{3}\Bigr)= -\frac{11}{3}+\frac{16}{3}=\frac{5}{3}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida:\n
  • O resultado é positivo e pequeno, coerente com a pequena “fatia” entre y=-2 e y=-1.\n
  • Portanto a área da região pedida é \dfrac{5}{3}.

Resposta

\dfrac{5}{3}

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