Calcule a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} y e^{-3 y} d y

Passo 1

O enunciado pede a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} y\,e^{-3y}\,dy.
O conteúdo aqui é integração imprópria (avaliar como limite) e usaremos integração por partes para encontrar a primitiva de y\,e^{-3y}.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite finito:
\int_{2}^{\infty} y\,e^{-3y}\,dy = \lim_{b\to\infty} \int_{2}^{b} y\,e^{-3y}\,dy.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int y\,e^{-3y}\,dy, escolhemos
u = y e dv = e^{-3y}\,dy.
Então du = dy e
v = \int e^{-3y}\,dy = -\tfrac{1}{3}e^{-3y}.
Pela fórmula de partes,
\int y\,e^{-3y}\,dy = u\,v - \int v\,du = -\tfrac{1}{3}y\,e^{-3y} + \tfrac{1}{3}\int e^{-3y}\,dy = -\tfrac{1}{3}y\,e^{-3y} - \tfrac{1}{9}e^{-3y} + C.

Passo 4

Substituindo o resultado e avaliando o limite:
\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\tfrac{1}{3}b\,e^{-3b}-\tfrac{1}{9}e^{-3b}\Bigr] -\Bigl[-\tfrac{1}{3}\cdot2\,e^{-6}-\tfrac{1}{9}e^{-6}\Bigr].
Como b\,e^{-3b}\to0 e e^{-3b}\to0 quando b\to\infty, sobra
0 -\bigl[-\tfrac{2}{3}e^{-6}-\tfrac{1}{9}e^{-6}\bigr] = \bigl(\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{9}\bigr)e^{-6} = \tfrac{7}{9}e^{-6}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{9}\,e^{-6}

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