Determine se a sequência é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
ou seja, determinar se
existe e, em caso afirmativo, encontrar esse limite. O conteúdo é limites de sequência e comparação de taxas de crescimento (logaritmo versus potência).
Passo 2
Para avaliar
, estendemos a sequência a uma função de variável real positiva,
e estudamos
. Esse limite é do tipo “
”, então podemos usar o critério de L’Hôpital.
Passo 3
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a
:
Logo,
Passo 4
Como
, segue que
Portanto, a sequência converge.
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.