Determine se a sequência é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre o limite.
\left\{\frac{\ln n}{n^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_{n} = \frac{\ln n}{n^{2}},
ou seja, determinar se \lim_{n\to\infty}a_{n} existe e, em caso afirmativo, encontrar esse limite. O conteúdo é limites de sequência e comparação de taxas de crescimento (logaritmo versus potência).

Passo 2

Para avaliar \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}, estendemos a sequência a uma função de variável real positiva,
f(x) = \frac{\ln x}{x^{2}},\quad x>0,
e estudamos \lim_{x\to\infty}f(x). Esse limite é do tipo “ \infty/\infty”, então podemos usar o critério de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x.
Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{2}} = \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x^{2}} = 0.

Passo 4

Como \lim_{x\to\infty}f(x)=0, segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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