Determine se a sequência é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre o limite.
\left\{\frac{n^{2}+1}{n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
\displaystyle a_{n} = \frac{n^{2}+1}{n}
e decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo é limite de sequência e vamos usar as propriedades de limites para sequências.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de forma mais simples, dividindo cada parcela por n:
a_{n} = \frac{n^{2}}{n} + \frac{1}{n} = n + \frac{1}{n}.

Passo 3

Aplicamos o limite em cada parcela separadamente, sabendo que
\lim_{n\to\infty}n = +\infty
e
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0.
Pelas propriedades de soma de limites, temos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(n + \frac{1}{n}\Bigr) = \lim_{n\to\infty}n \;+\; \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = +\infty + 0 = +\infty.

Passo 4

Como o limite é +\infty, a sequência não se aproxima de um número finito. Portanto ela diverge para o infinito.

Resposta

A sequência é divergente, pois
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{n} = +\infty.

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