Calcule a integral indefinida:
10. \int \operatorname{sen}^{3}(2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \sin^{3}(2x+1)\,dx.
O conteúdo é integração de potências ímpares de seno. Para isso, vamos usar a identidade de redução
\sin^{3}u = (1 - \cos^{2}u)\,\sin u
e uma substituição simples na variável.

Passo 2

Aplicando a identidade com u = 2x+1, temos
\sin^{3}(2x+1) = \bigl(1 - \cos^{2}(2x+1)\bigr)\,\sin(2x+1),
então a integral vira
\int \sin^{3}(2x+1)\,dx = \int \bigl(1 - \cos^{2}(2x+1)\bigr)\,\sin(2x+1)\,dx.

Passo 3

Fazendo a mudança de variável
u = 2x+1 \quad\Longrightarrow\quad du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \tfrac12\,du,
a integral passa a ser
\int \bigl(1 - \cos^{2}u\bigr)\,\sin u\,dx = \frac12 \int \bigl(1 - \cos^{2}u\bigr)\,\sin u\,du.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int(1 - \cos^{2}u)\,\sin u\,du,
observe que \tfrac{d}{du}(\cos u) = -\sin u.
Faça v = \cos u, daí dv = -\sin u\,du e \sin u\,du = -dv. Assim,
\int(1 - \cos^{2}u)\,\sin u\,du = -\int(1 - v^{2})\,dv = -\Bigl(v - \tfrac{v^{3}}{3}\Bigr) + C = -v + \tfrac{v^{3}}{3} + C.
Voltando a u, isso dá
-\cos u + \tfrac{\cos^{3}u}{3} + C.

Passo 5

Não esqueça do fator \tfrac12 que saiu na substituição:
\int \sin^{3}(2x+1)\,dx = \frac12\Bigl(-\cos u + \tfrac{\cos^{3}u}{3}\Bigr) + C = -\tfrac12\cos(2x+1) + \tfrac{\cos^{3}(2x+1)}{6} + C.

Resposta

-\frac12\cos(2x+1) + \frac{\cos^3(2x+1)}{6} + C.

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