Sabendo que y=\frac{1}{x^{2}+c} é uma família a um parâmetro de soluções da ED de primeira ordem y^{\prime}+2 x y^{2}=0. Encontre a solução para o PVI e indique o maior intervalo I para o qual a solução é definida.
(c) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+2 x y^{2}=0 \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y' + 2x\,y^{2} = 0,\\\ y(0)=1, \end{cases}
que é uma equação diferencial de primeira ordem separável. Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Escrevendo a derivada isolada e separando as variáveis, temos
\frac{dy}{dx} = -2x\,y^{2},
portanto
\frac{dy}{y^{2}} = -2x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int -2x\,dx.
À esquerda \displaystyle \int y^{-2}dy = -\frac{1}{y} e à direita \displaystyle \int -2x\,dx = -x^{2} + C. Logo
-\frac{1}{y} = -x^{2} + C.
Multiplicando por -1,
\frac{1}{y} = x^{2} + C',
onde C' = -C. Daí a solução geral é
y(x) = \frac{1}{\,x^{2} + C'\,}.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0)=1, obtemos
1 = \frac{1}{0^{2} + C'} \quad\Longrightarrow\quad C' = 1.
Portanto a solução particular é
y(x) = \frac{1}{\,x^{2} + 1\,}.

Passo 5

O denominador x^{2}+1 nunca se anula para x\in\mathbb{R}. Assim a solução está definida em todo o eixo real, e o maior intervalo de definição é
I = (-\infty,\infty).

Resposta

y(x) = \frac{1}{\,x^{2} + 1\,}
I = (-\infty,\infty)

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