Calcule a integral indefinida.
10.
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Passo 1
O enunciado diz que
e pede calcular a integral indefinida correspondente. Ou seja, precisamos encontrar uma primitiva de
As informações relevantes são simplesmente a expressão do integrando
e que queremos uma antiderivada (integral indefinida), que incluirá uma constante de integração
.
Passo 2
Método 1 — substituição direta. A ideia é olhar para a integral e ver se alguma parte é a derivada de outra parte. Note que a derivada de
é
. Então fazemos a substituição
Agora calculemos o diferencial
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Isso é perfeito porque
aparece na integral original. Substituindo na integral temos:
Passo 3
Integrando em
: a primitiva de
é
, porque a regra potência diz que
. Assim
Voltando à variável original usando
, obtemos a primitiva
Lembre-se:
é a constante de integração, que pode ser qualquer número real.
Passo 4
Método 2 — identidade trigonométrica (via ângulo duplo). Existe outra forma útil que vale a pena conhecer: a identidade do ângulo duplo
Dessa identidade segue que
Substituindo na integral:
Agora integramos
. A primitiva de
é
(pois ao derivar esse resultado multiplica-se por
, voltando a
). Assim
Passo 5
Mostrar que as duas formas são equivalentes (até constante). Use a identidade
. Então
Como a constante
pode ser absorvida na constante arbitrária
, concluímos que as duas primitivas são equivalentes, ambas representando a mesma família de antiderivadas. Portanto
e
são formas válidas.
Passo 6
Verificação rápida derivando a resposta mais simples: calcule a derivada de
. Usando regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.