Calcule a integral indefinida.
10. y=\operatorname{sen} \theta \cos \theta

Passo 1

O enunciado diz que y=\operatorname{sen}\theta\cos\theta e pede calcular a integral indefinida correspondente. Ou seja, precisamos encontrar uma primitiva de
\int \sin\theta\cos\theta\,d\theta.
As informações relevantes são simplesmente a expressão do integrando \sin\theta\cos\theta e que queremos uma antiderivada (integral indefinida), que incluirá uma constante de integração C.

Passo 2

Método 1 — substituição direta. A ideia é olhar para a integral e ver se alguma parte é a derivada de outra parte. Note que a derivada de \sin\theta é \cos\theta. Então fazemos a substituição
u=\sin\theta.
Agora calculemos o diferencial du. Diferenciando ambos os lados em relação a \theta obtemos
du=\cos\theta\,d\theta.
Isso é perfeito porque \cos\theta\,d\theta aparece na integral original. Substituindo na integral temos:
\int \sin\theta\cos\theta\,d\theta = \int u\,du.

Passo 3

Integrando em u: a primitiva de u é \dfrac{u^{2}}{2}, porque a regra potência diz que \dfrac{d}{du}\!\left(\dfrac{u^{2}}{2}\right)=u. Assim
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C.
Voltando à variável original usando u=\sin\theta, obtemos a primitiva
\frac{\sin^{2}\theta}{2}+C.
Lembre-se: C é a constante de integração, que pode ser qualquer número real.

Passo 4

Método 2 — identidade trigonométrica (via ângulo duplo). Existe outra forma útil que vale a pena conhecer: a identidade do ângulo duplo
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Dessa identidade segue que
\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}\sin(2\theta).
Substituindo na integral:
\int \sin\theta\cos\theta\,d\theta = \int \frac{1}{2}\sin(2\theta)\,d\theta.
Agora integramos \sin(2\theta). A primitiva de \sin(k\theta) é -\dfrac{1}{k}\cos(k\theta) (pois ao derivar esse resultado multiplica-se por k, voltando a \sin(k\theta)). Assim
\int \frac{1}{2}\sin(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right)+C = -\frac{1}{4}\cos(2\theta)+C.

Passo 5

Mostrar que as duas formas são equivalentes (até constante). Use a identidade \cos(2\theta)=1-2\sin^{2}\theta. Então
-\frac{1}{4}\cos(2\theta) = -\frac{1}{4}\bigl(1-2\sin^{2}\theta\bigr) = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\sin^{2}\theta.
Como a constante -\dfrac{1}{4} pode ser absorvida na constante arbitrária C, concluímos que as duas primitivas são equivalentes, ambas representando a mesma família de antiderivadas. Portanto \dfrac{\sin^{2}\theta}{2}+C e -\dfrac{1}{4}\cos(2\theta)+C são formas válidas.

Passo 6

Verificação rápida derivando a resposta mais simples: calcule a derivada de \dfrac{\sin^{2}\theta}{2}. Usando regra da cadeia,
\frac{d}{d\theta}\!\left(\frac{\sin^{2}\theta}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\sin\theta\cos\theta=\sin\theta\cos\theta,
que é exatamente o integrando. Então a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{\sin^{2}\theta}{2}+C

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