Calcule a integral.
12. f(z)=\left(1-e^{z}\right)\left(z+e^{z}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(z)=\left(1-e^{z}\right)\left(z+e^{z}\right) e pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int f(z)\,dz.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(z)=\left(1-e^{z}\right)\left(z+e^{z}\right).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) F(z) tal que F'(z)=f(z).
    Nada mais foi dado, então vamos achar \displaystyle \int \left(1-e^{z}\right)\left(z+e^{z}\right)\,dz.

Passo 2

Primeiro vamos expandir o produto para separar termos mais simples de integrar. Multiplicando termo a termo:
\left(1-e^{z}\right)\left(z+e^{z}\right)=z+e^{z}-z e^{z}-e^{2z}.
Portanto precisamos calcular
\int \left(z+e^{z}-z e^{z}-e^{2z}\right)\,dz.

Passo 3

Usamos linearidade da integral para dividir em quatro integrais mais simples:
\int z\,dz+\int e^{z}\,dz-\int z e^{z}\,dz-\int e^{2z}\,dz.
Agora vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 4

Integral do primeiro termo: \displaystyle \int z\,dz.
Regra usada: para n\neq -1, \displaystyle \int z^{n}\,dz=\dfrac{z^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n=1, então
\int z\,dz=\frac{z^{2}}{2}.
Explicação curta: derivando \dfrac{z^{2}}{2} obtém-se z, então é antiderivada correta.

Passo 5

Integral do segundo termo: \displaystyle \int e^{z}\,dz.
Fato usado: a derivada de e^{z} é e^{z}, logo a primitiva é
\int e^{z}\,dz=e^{z}.

Passo 6

Integral do terceiro termo: \displaystyle \int z e^{z}\,dz.
Aqui usamos integração por partes. Fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolha prática: tomar u=z (pois sua derivada simplifica) e dv=e^{z}\,dz. Então:
  • u=z implica du=dz.
  • dv=e^{z}\,dz implica v=e^{z} (pois \dfrac{d}{dz}e^{z}=e^{z}).
Aplicando a fórmula:
\int z e^{z}\,dz = z e^{z} - \int e^{z}\,dz.
Já sabemos \displaystyle \int e^{z}\,dz=e^{z}, logo
\int z e^{z}\,dz = z e^{z} - e^{z} = (z-1)e^{z}.
Verificação rápida: derivando (z-1)e^{z} e^{z}(z-1)+e^{z}=z e^{z}, OK.

Passo 7

Integral do quarto termo: \displaystyle \int e^{2z}\,dz.
Regra geral: para constante a, \displaystyle \int e^{a z}\,dz=\frac{1}{a}e^{a z}+C. Aqui a=2, então
\int e^{2z}\,dz=\frac{1}{2}e^{2z}.
Explicação: derivando \frac{1}{2}e^{2z} obtém-se e^{2z}.

Passo 8

Agora juntamos todas as primitivas com os sinais correspondentes:
\int f(z)\,dz=\frac{z^{2}}{2}+e^{z}-\bigl((z-1)e^{z}\bigr)-\frac{1}{2}e^{2z}+C.
Vamos simplificar o termo envolvendo e^{z}:
e^{z}-(z-1)e^{z}=(e^{z}-z e^{z}+e^{z})=(2-z)e^{z}.
Assim a primitiva simplificada é
F(z)=\frac{z^{2}}{2}+(2-z)e^{z}-\frac{1}{2}e^{2z}+C,
onde C é constante de integração.

Passo 9

Cheque rápido (diferenciação) para confirmar: derivando cada parcela
  • \dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{z^{2}}{2}\right)=z.
  • \dfrac{d}{dz}\bigl((2-z)e^{z}\bigr)=(2-z)e^{z}-e^{z}=(1-z)e^{z}.
  • \dfrac{d}{dz}\left(-\dfrac{1}{2}e^{2z}\right)=-e^{2z}.
    Somando: z+(1-z)e^{z}-e^{2z}=z+e^{z}-z e^{z}-e^{2z}, que é exatamente f(z). Confere.

Resposta

\displaystyle \frac{z^{2}}{2}+(2-z)e^{z}-\frac{1}{2}e^{2z}+C

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