Calcule a integral.
12.
12.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular a integral indefinida
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada)
tal que .
Nada mais foi dado, então vamos achar.
Passo 2
Primeiro vamos expandir o produto para separar termos mais simples de integrar. Multiplicando termo a termo:
Portanto precisamos calcular
Passo 3
Usamos linearidade da integral para dividir em quatro integrais mais simples:
Agora vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 4
Integral do primeiro termo:
.
Regra usada: para ,
. Aqui
, então
Regra usada: para
Explicação curta: derivando
obtém-se
, então é antiderivada correta.
Passo 5
Integral do segundo termo:
.
Fato usado: a derivada de é
, logo a primitiva é
Fato usado: a derivada de
Passo 6
Integral do terceiro termo:
.
Aqui usamos integração por partes. Fórmula de integração por partes:
Aqui usamos integração por partes. Fórmula de integração por partes:
Escolha prática: tomar
(pois sua derivada simplifica) e
. Então:
-
implica . -
implica (pois ).
Aplicando a fórmula:
Já sabemos
, logo
Verificação rápida: derivando
dá
, OK.
Passo 7
Integral do quarto termo:
.
Regra geral: para constante ,
. Aqui
, então
Regra geral: para constante
Explicação: derivando
obtém-se
.
Passo 8
Agora juntamos todas as primitivas com os sinais correspondentes:
Vamos simplificar o termo envolvendo
:
Assim a primitiva simplificada é
onde
é constante de integração.
Passo 9
Cheque rápido (diferenciação) para confirmar: derivando cada parcela
-
. -
. -
.
Somando:, que é exatamente . Confere.