Calcule a integral indefinida:
14. \int \operatorname{sen}^{3} 2 \theta \cos ^{4} 2 \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{3}(2\theta)\,\cos^{4}(2\theta)\,d\theta.
Estamos em um tópico de integrais de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade \operatorname{sen}^2x + \cos^2x = 1 e uma substituição adequada para transformar tudo em um polinômio.

Passo 2

Como a potência de \operatorname{sen} é ímpar, separamos um fator \operatorname{sen}(2\theta) e escrevemos o resto em termos de \cos(2\theta):
\operatorname{sen}^{3}(2\theta)\,\cos^{4}(2\theta) = \bigl(\operatorname{sen}^2(2\theta)\bigr)\,\cos^4(2\theta)\,\operatorname{sen}(2\theta) = \bigl(1-\cos^2(2\theta)\bigr)\cos^4(2\theta)\,\operatorname{sen}(2\theta).
Logo a integral fica
\int \bigl(1-\cos^2(2\theta)\bigr)\cos^4(2\theta)\,\operatorname{sen}(2\theta)\,d\theta = \int \bigl(\cos^4(2\theta)-\cos^6(2\theta)\bigr)\operatorname{sen}(2\theta)\,d\theta.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \cos(2\theta), \quad du = -2\,\operatorname{sen}(2\theta)\,d\theta \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}(2\theta)\,d\theta = -\tfrac12\,du.
Então
\int \bigl(u^4 - u^6\bigr)\operatorname{sen}(2\theta)\,d\theta = -\tfrac12 \int \bigl(u^4 - u^6\bigr)\,du = -\tfrac12\bigl(\tfrac{u^5}{5} - \tfrac{u^7}{7}\bigr) + C.
Simplificando:
-\tfrac12\bigl(\tfrac{u^5}{5} - \tfrac{u^7}{7}\bigr) = -\tfrac{u^5}{10} + \tfrac{u^7}{14} + C.
Voltando a u=\cos(2\theta), obtemos o resultado final.

Resposta

\frac{\cos^{7}(2\theta)}{14} \;-\;\frac{\cos^{5}(2\theta)}{10} \;+\; C.

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