Suponha que o modelo de crescimento populacional para uma pequena comunidade é dado pelo PVI:
\frac{d P}{d t}=0,15 P(t)+20, \quad P(0)=100
onde P é o número de indivíduos na comunidade no instante t, medido em anos. Qual é a taxa de crescimento da população em t=0 ? Qual a taxa de crescimento quando a população atinge 500 indivíduos?

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
\frac{dP}{dt}=0,15\,P(t)+20,\quad P(0)=100
e pede a taxa de crescimento instantânea em dois casos: em t=0 e quando a população vale 500. A ideia é usar diretamente o lado direito da equação, que fornece \frac{dP}{dt} em função de P.

Passo 2

Para t=0 vale P(0)=100. Logo,
\frac{dP}{dt}\Big|_{t=0}=0,15\cdot100+20=15+20=35.
Portanto, a taxa de crescimento inicial é de 35 indivíduos por ano.

Passo 3

Quando a população atinge P=500, basta avaliar
\frac{dP}{dt}=0,15\cdot500+20=75+20=95.
Assim, nessa situação a taxa de crescimento é de 95 indivíduos por ano.

Resposta

A taxa de crescimento em t=0 é de 35 indivíduos/ano.
A taxa de crescimento quando P=500 é de 95 indivíduos/ano.

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