Calcule a integral indefinida:
17. \int \frac{1}{\theta} \operatorname{tg}^{3}(\ln \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\theta}\,\tan^{3}\bigl(\ln\theta\bigr)\,d\theta.
O conteúdo principal é o uso de substituição logarítmica e identidades trigonométricas para integrar potências de tangente.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln\theta, \qquad du = \frac{d\theta}{\theta}.
Então
\frac{d\theta}{\theta} = du
e a integral transforma-se em
\int \tan^{3}(u)\,du.

Passo 3

Usamos a identidade \tan^{2}u = \operatorname{sec}^{2}u - 1 para escrever
\tan^{3}u = \tan^{2}u\;\tan u = (\operatorname{sec}^{2}u - 1)\,\tan u.
Assim
\int \tan^{3}u\,du = \int \bigl(\operatorname{sec}^{2}u - 1\bigr)\tan u\,du = \int \operatorname{sec}^{2}u\,\tan u\,du \;-\; \int \tan u\,du.

Passo 4

Para a primeira parte use v = \tan u, logo dv = \operatorname{sec}^{2}u\,du. Tem-se
\int \operatorname{sec}^{2}u\,\tan u\,du = \int v\,dv = \frac{v^{2}}{2} = \frac{\tan^{2}u}{2}.

Passo 5

Para a segunda parte recordamos que
\int \tan u\,du = -\ln\bigl|\cos u\bigr|.
Logo
\int \tan^{3}u\,du = \frac{\tan^{2}u}{2} \;-\;\bigl(-\ln\bigl|\cos u\bigr|\bigr) = \frac{\tan^{2}u}{2} + \ln\bigl|\cos u\bigr| + C.

Passo 6

Voltando à variável original \theta com u = \ln\theta, obtemos a antiderivada
F(\theta) = \frac{1}{2}\,\tan^{2}\!\bigl(\ln\theta\bigr) \;+\;\ln\!\bigl|\cos\bigl(\ln\theta\bigr)\bigr| \;+\;C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{1}{\theta}\,\tan^{3}\bigl(\ln\theta\bigr)\,d\theta = \frac{1}{2}\,\tan^{2}\!\bigl(\ln\theta\bigr) + \ln\!\bigl|\cos\bigl(\ln\theta\bigr)\bigr| + C. }

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