Calcule a integral indefinida:
∫cos3x/sen4xdx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\cos3x}{\sen4x}\,dx.
Vou interpretar aqui que o texto quer dizer a potência, ou seja
\int \frac{\cos^{3}x}{\operatorname{sen}^{4}x}\,dx,
porque essa é uma interpretação muito comum e leva a uma resolução elementar via substituição. Dados relevantes: numerador \cos^{3}x, denominador \operatorname{sen}^{4}x; objetivo: encontrar uma primitiva (antiderivada) em termos de x mais constante de integração.

Passo 2

Estratégia: quando aparece uma integral com potências de \operatorname{sen} x e \cos x, uma técnica padrão é reservar um fator de \cos x\,dx para usar como d(\operatorname{sen} x) e escrever o resto em termos de \operatorname{sen} x usando a identidade pitagórica.
A identidade que vamos usar é
\cos^{2}x = 1 - \operatorname{sen}^{2}x,
e a substituição que facilita é
u=\operatorname{sen} x\quad\Rightarrow\quad du=\cos x\,dx.
Assim conseguimos transformar a integral em uma integral em u com potências simples.

Passo 3

Separe um fator \cos x em \cos^{3}x:
\cos^{3}x\,dx = \cos^{2}x\cdot\cos x\,dx = (1-\operatorname{sen}^{2}x)\cdot\cos x\,dx.
Fazendo a substituição u=\operatorname{sen} x e du=\cos x\,dx, a integral fica
\int \frac{\cos^{3}x}{\operatorname{sen}^{4}x}\,dx = \int \frac{1-\operatorname{sen}^{2}x}{\operatorname{sen}^{4}x}\cos x\,dx = \int \frac{1-u^{2}}{u^{4}}\,du.

Passo 4

Simplifique a integranda em potências de u:
\frac{1-u^{2}}{u^{4}}=u^{-4}-u^{-2}.
Agora aplicamos a regra do poder para integrar termo a termo:
\int u^{-4}\,du = \frac{u^{-3}}{-3}=-\frac{1}{3}u^{-3}, \qquad \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1}=-u^{-1}.
Portanto
\int (u^{-4}-u^{-2})\,du = -\frac{1}{3}u^{-3} + u^{-1} + C.

Passo 5

Volte à variável x usando u=\operatorname{sen} x:
-\frac{1}{3}u^{-3} + u^{-1} + C = -\frac{1}{3}\frac{1}{\operatorname{sen}^{3}x} + \frac{1}{\operatorname{sen} x} + C.
Se preferir, pode reescrever em uma fração única:
\frac{1}{\operatorname{sen} x}-\frac{1}{3\operatorname{sen}^{3}x} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\operatorname{sen} x}-\frac{1}{3\operatorname{sen}^{3}x}+C

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