Calcule a integral indefinida:
∫senωtsen(ωt+θ)dt

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int \sin(\omega t)\sin(\omega t+\theta)\,dt.
Informações dadas e hipóteses relevantes:
  • A variável de integração é t.
  • \omega e \theta são constantes reais.
  • Caso especial: se \omega=0 então \sin(\omega t)=0 e a integral vale uma constante (integral de zero).
    A partir daqui vou transformar o produto de senos em soma de funções mais fáceis de integrar.

Passo 2

Identidade trigonométrica útil (produto-para-soma). Vou mostrar de onde vem e por que é útil.
Partimos das fórmulas do cosseno:
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B,
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B.
Subtraindo a segunda da primeira obtemos
\cos(A-B)-\cos(A+B)=2\sin A\sin B.
Logo temos a identidade
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr).
Por que usar isso? Porque integrar somas de cossenos é direto, enquanto integrar produtos de senos pode ser mais confuso. Converter produto em soma simplifica a integral.

Passo 3

Aplicando a identidade com A=\omega t e B=\omega t+\theta:
\sin(\omega t)\sin(\omega t+\theta) =\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(\omega t-(\omega t+\theta))-\cos(\omega t+(\omega t+\theta))\bigr).
Agora simplifico as expressões dentro dos cossenos:
\omega t-(\omega t+\theta)=-\theta,
\omega t+(\omega t+\theta)=2\omega t+\theta.
Portanto
\sin(\omega t)\sin(\omega t+\theta)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(-\theta)-\cos(2\omega t+\theta)\bigr).

Passo 4

Uso \cos(-\theta)=\cos\theta para simplificar:
\sin(\omega t)\sin(\omega t+\theta)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos\theta-\cos(2\omega t+\theta)\bigr).
Assim a integral fica
\int \sin(\omega t)\sin(\omega t+\theta)\,dt =\tfrac{1}{2}\int \cos\theta\,dt-\tfrac{1}{2}\int \cos(2\omega t+\theta)\,dt.
Explicando como integrar cada termo:
  • \cos\theta é constante (porque \theta é constante), logo \int \cos\theta\,dt = t\cos\theta.
  • Para \int \cos(2\omega t+\theta)\,dt usamos a regra geral: se a e b são constantes com a\neq 0, então
\int \cos(at+b)\,dt=\frac{1}{a}\sin(at+b)+\text{const},
pois \dfrac{d}{dt}\sin(at+b)=a\cos(at+b).

Passo 5

Aplicando as primitivas:
\tfrac{1}{2}\int \cos\theta\,dt=\tfrac{1}{2}t\cos\theta,
-\tfrac{1}{2}\int \cos(2\omega t+\theta)\,dt =-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\omega}\sin(2\omega t+\theta) =-\frac{1}{4\omega}\sin(2\omega t+\theta),
desde que \omega\neq 0. Juntando:
\int \sin(\omega t)\sin(\omega t+\theta)\,dt =\frac{t\cos\theta}{2}-\frac{1}{4\omega}\sin(2\omega t+\theta)+C.
Verificação rápida (derivando a resposta): a derivada de \dfrac{t\cos\theta}{2} é \dfrac{\cos\theta}{2}; a derivada de -\dfrac{1}{4\omega}\sin(2\omega t+\theta) é -\dfrac{1}{4\omega}\cdot 2\omega\cos(2\omega t+\theta)=-\dfrac{1}{2}\cos(2\omega t+\theta). Somando dá \tfrac{1}{2}(\cos\theta-\cos(2\omega t+\theta)), que é exatamente o integrando transformado no Passo 4. Tudo bate.

Resposta

\displaystyle \frac{t\cos\theta}{2}-\frac{1}{4\omega}\sin(2\omega t+\theta)+C
Para \omega=0: C

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