Calcule a integral indefinida:
∫senωtsen(ωt+θ)dt
∫senωtsen(ωt+θ)dt
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e hipóteses relevantes:
- A variável de integração é
. -
e são constantes reais. - Caso especial: se
então e a integral vale uma constante (integral de zero).
A partir daqui vou transformar o produto de senos em soma de funções mais fáceis de integrar.
Passo 2
Identidade trigonométrica útil (produto-para-soma). Vou mostrar de onde vem e por que é útil.
Partimos das fórmulas do cosseno:
Partimos das fórmulas do cosseno:
Subtraindo a segunda da primeira obtemos
Logo temos a identidade
Por que usar isso? Porque integrar somas de cossenos é direto, enquanto integrar produtos de senos pode ser mais confuso. Converter produto em soma simplifica a integral.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
:
Agora simplifico as expressões dentro dos cossenos:
Portanto
Passo 4
Uso
para simplificar:
Assim a integral fica
Explicando como integrar cada termo:
-
é constante (porque é constante), logo . - Para
usamos a regra geral: se e são constantes com , então
pois
.
Passo 5
Aplicando as primitivas:
desde que
. Juntando:
Verificação rápida (derivando a resposta): a derivada de
é
; a derivada de
é
. Somando dá
, que é exatamente o integrando transformado no Passo 4. Tudo bate.
Resposta
Para