Calcule a integral indefinida:
∫tg25xdx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \tg25x\,dx
Ou seja, queremos encontrar uma função primitiva para a função cujo valor em cada x é \operatorname{tg}(25x). As informações relevantes que temos são:
\text{integrando: }\operatorname{tg}(25x),\qquad \text{variável de integração: }x,\qquad 25\text{ é constante.}áçãé

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a tangente usando seno e cosseno. Lembre que
\operatorname{tg} t = \frac{\operatorname{sen} t}{\cos t}.
Aplicando ao nosso caso,
\operatorname{tg}(25x)=\frac{\operatorname{sen}(25x)}{\cos(25x)}.
Portanto a integral vira
\int \operatorname{tg}(25x)\,dx = \int \frac{\operatorname{sen}(25x)}{\cos(25x)}\,dx.

Passo 3

Agora vamos escolher uma substituição conveniente. Note que o denominador é \cos(25x) e o numerador contém \operatorname{sen}(25x). Isso sugere usar a substituição
u=\cos(25x).
Vamos calcular du. Derivando ambos os lados em relação a x,
du = \frac{d}{dx}\big(\cos(25x)\big)\,dx = -25\operatorname{sen}(25x)\,dx.
Isolando \operatorname{sen}(25x)\,dx obtemos
\operatorname{sen}(25x)\,dx = -\frac{1}{25}\,du.

Passo 4

Substituímos na integral original. Tínhamos \int \dfrac{\operatorname{sen}(25x)}{\cos(25x)}\,dx. Usando u=\cos(25x) e \operatorname{sen}(25x)\,dx = -\dfrac{1}{25}du,
\int \frac{\operatorname{sen}(25x)}{\cos(25x)}\,dx = \int \frac{1}{u}\left(-\frac{1}{25}\,du\right) = -\frac{1}{25}\int \frac{du}{u}.

Passo 5

A integral de \dfrac{1}{u} é o logaritmo natural. Lembre que para u\neq 0,
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C,
onde usamos valor absoluto dentro do logaritmo porque \ln só está definido para argumentos positivos, e u (que é \cos(25x)) pode ser negativo em alguns x. Aplicando isso:
-\frac{1}{25}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{25}\ln|u| + C.

Passo 6

Voltamos à variável x substituindo u=\cos(25x):
-\frac{1}{25}\ln|u| + C = -\frac{1}{25}\ln\big|\cos(25x)\big| + C.
Uma forma alternativa equivalente é escrever usando a secante:
-\frac{1}{25}\ln\big|\cos(25x)\big| = \frac{1}{25}\ln\big|\operatorname{sec}(25x)\big|.

Passo 7

Checagem rápida derivando a resposta para garantir que volta ao integrando. Derivando
F(x) = -\frac{1}{25}\ln\big|\cos(25x)\big|
temos, por regra da cadeia,
F'(x) = -\frac{1}{25}\cdot\frac{1}{\cos(25x)}\cdot\big(-\sin(25x)\big)\cdot 25 = \frac{\sin(25x)}{\cos(25x)} = \operatorname{tg}(25x),
ou seja, a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{25}\ln\big|\cos(25x)\big|+C

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