Calcule a integral indefinida:
∫tg25xdx
∫tg25xdx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Ou seja, queremos encontrar uma função primitiva para a função cujo valor em cada
é
. As informações relevantes que temos são:
Passo 2
Primeiro passo técnico: reescrever a tangente usando seno e cosseno. Lembre que
Aplicando ao nosso caso,
Portanto a integral vira
Passo 3
Agora vamos escolher uma substituição conveniente. Note que o denominador é
e o numerador contém
. Isso sugere usar a substituição
Vamos calcular
. Derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
obtemos
Passo 4
Substituímos na integral original. Tínhamos
. Usando
e
,
Passo 5
A integral de
é o logaritmo natural. Lembre que para
,
onde usamos valor absoluto dentro do logaritmo porque
só está definido para argumentos positivos, e
(que é
) pode ser negativo em alguns
. Aplicando isso:
Passo 6
Voltamos à variável
substituindo
:
Uma forma alternativa equivalente é escrever usando a secante:
Passo 7
Checagem rápida derivando a resposta para garantir que volta ao integrando. Derivando
temos, por regra da cadeia,
ou seja, a primitiva está correta.