Calcule a integral indefinida:
∫cos63xdx

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \cos(63x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \cos(63x).
  • A variável de integração é x.
  • O número \,63 é uma constante multiplicando x.
  • Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada) F(x) tal que F'(x)=\cos(63x), mais a constante de integração C.

Passo 2

Ideia e justificativa do método: quando temos dentro do cosseno uma função linear 63x, a técnica mais simples é usar uma substituição do tipo u=63x ou lembrar da fórmula geral \int \cos(ax)\,dx = \tfrac{1}{a}\sin(ax)+C. Vou explicar por que isso funciona usando a substituição e a regra da cadeia (cadeia é só a forma elegante de dizer que, ao derivar uma função composta, multiplicamos pela derivada da parte interna).

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente:
u = 63x.
Diferenciando ambos os lados em relação a x,
du = 63\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{63}.
Agora reescrevemos a integral em termos de u:
\int \cos(63x)\,dx = \int \cos(u)\cdot\frac{du}{63} = \frac{1}{63}\int \cos(u)\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u: sabemos (e podemos verificar pela derivada) que a derivada de \sin(u) é \cos(u). Portanto uma primitiva de \cos(u) é \sin(u). Assim,
\frac{1}{63}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{63}\sin(u)+C.

Passo 5

Voltar para a variável original x substituindo u=63x:
\frac{1}{63}\sin(u)+C = \frac{1}{63}\sin(63x)+C.
Esse é o resultado geral. A constante C é a constante de integração, que aparece porque a antiderivada não é única.

Passo 6

Checagem rápida por diferenciação (verificação): derivando a resposta obtemos, usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{63}\sin(63x)+C\right)=\frac{1}{63}\cos(63x)\cdot 63 = \cos(63x),
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Passo 7

Forma geral e exemplo adicional para fixar: para qualquer constante a\neq 0,
\int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax)+C.
Exemplo rápido: \displaystyle \int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{63}\sin(63x)+C

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