Calcule a integral indefinida:
∫cos63xdx
∫cos63xdx
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - O número
é uma constante multiplicando . - Precisamos encontrar uma primitiva (antiderivada)
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Ideia e justificativa do método: quando temos dentro do cosseno uma função linear
, a técnica mais simples é usar uma substituição do tipo
ou lembrar da fórmula geral
. Vou explicar por que isso funciona usando a substituição e a regra da cadeia (cadeia é só a forma elegante de dizer que, ao derivar uma função composta, multiplicamos pela derivada da parte interna).
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente:
Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Agora reescrevemos a integral em termos de
:
Passo 4
Calcular a integral em
: sabemos (e podemos verificar pela derivada) que a derivada de
é
. Portanto uma primitiva de
é
. Assim,
Passo 5
Voltar para a variável original
substituindo
:
Esse é o resultado geral. A constante
é a constante de integração, que aparece porque a antiderivada não é única.
Passo 6
Checagem rápida por diferenciação (verificação): derivando a resposta obtemos, usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.
Passo 7
Forma geral e exemplo adicional para fixar: para qualquer constante
,
Exemplo rápido:
.