Calcule a integral indefinida:
∫15sen2xcos3xdx

Passo 1

Enunciado claro: calcular a integral indefinida
\int 15\sin^2 x\cos^3 x\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{Integrando }15\sin^2 x\cos^3 x\text{ em relação a }x.çã
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=15\sin^2 x\cos^3 x.

Passo 2

Observação estratégica (por que escolher esse caminho): a potência de \cos x é ímpar ( \cos^3 x). Quando uma das funções seno ou cosseno aparece com potência ímpar, um truque clássico é separar um fator dessa função e usar a identidade trigonométrica \cos^2 x = 1-\sin^2 x (ou, se o seno tivesse potência ímpar, usar \sin^2 x = 1-\cos^2 x). Isso permite fazer a substituição u=\sin x porque du=\cos x\,dx. Vou aplicar exatamente isso: guardar um \cos x para formar du e reescrever o restante em termos de \sin x.

Passo 3

Reescrevendo o integrando, separo um \cos x:
15\sin^2 x\cos^3 x = 15\sin^2 x\cos^2 x\cdot\cos x.
Agora uso a identidade \cos^2 x = 1-\sin^2 x (esta identidade vem de \sin^2 x+\cos^2 x=1, isolando \cos^2 x):
15\sin^2 x\cos^2 x\cdot\cos x = 15\sin^2 x(1-\sin^2 x)\cos x.
Portanto a integral fica
\int 15\sin^2 x\cos^3 x\,dx = \int 15\sin^2 x(1-\sin^2 x)\cos x\,dx.

Passo 4

Faço a substituição u=\sin x. Explico:
  • u é uma nova variável que deixa a integral mais simples.
  • Derivando, du=\cos x\,dx. Isso é ótimo porque temos um fator \cos x\,dx no integrando que agora se transforma em du.
Substituindo na integral:
\int 15\sin^2 x(1-\sin^2 x)\cos x\,dx = 15\int u^2(1-u^2)\,du.
Expando o polinômio dentro da integral:
15\int (u^2 - u^4)\,du.

Passo 5

Integro termo a termo. Lembre que a regra básica de integração de uma potência é
\int u^n\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1,
onde C é a constante de integração.
Aplicando isso a cada termo:
15\int (u^2 - u^4)\,du = 15\left(\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}\right) + C.
Agora simplifico os coeficientes multiplicando 15:
15\cdot\frac{u^3}{3} = 5u^3,\qquad 15\cdot\frac{u^5}{5} = 3u^5.
Então obtemos
5u^3 - 3u^5 + C.

Passo 6

Volto à variável original usando u=\sin x. Substituindo:
5u^3 - 3u^5 + C = 5\sin^3 x - 3\sin^5 x + C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando essa expressão usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(5\sin^3 x - 3\sin^5 x\big) = 15\sin^2 x\cos x - 15\sin^4 x\cos x = 15\sin^2 x\cos x(1-\sin^2 x) = 15\sin^2 x\cos^3 x,
que coincide com o integrando original — então a primitiva está correta.

Resposta

5\sin^3 x - 3\sin^5 x + C

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