Calcule a integral indefinida:
∫15sen2xcos3xdx
∫15sen2xcos3xdx
Passo 1
Enunciado claro: calcular a integral indefinida
Informações relevantes que o enunciado dá:
O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 2
Observação estratégica (por que escolher esse caminho): a potência de
é ímpar (
). Quando uma das funções seno ou cosseno aparece com potência ímpar, um truque clássico é separar um fator dessa função e usar a identidade trigonométrica
(ou, se o seno tivesse potência ímpar, usar
). Isso permite fazer a substituição
porque
. Vou aplicar exatamente isso: guardar um
para formar
e reescrever o restante em termos de
.
Passo 3
Reescrevendo o integrando, separo um
:
Agora uso a identidade
(esta identidade vem de
, isolando
):
Portanto a integral fica
Passo 4
Faço a substituição
. Explico:
-
é uma nova variável que deixa a integral mais simples. - Derivando,
. Isso é ótimo porque temos um fator no integrando que agora se transforma em .
Substituindo na integral:
Expando o polinômio dentro da integral:
Passo 5
Integro termo a termo. Lembre que a regra básica de integração de uma potência é
onde
é a constante de integração.
Aplicando isso a cada termo:
Agora simplifico os coeficientes multiplicando
:
Então obtemos
Passo 6
Volto à variável original usando
. Substituindo:
Verificação rápida (útil na prova): derivando essa expressão usando a regra da cadeia,
que coincide com o integrando original — então a primitiva está correta.