Calcule a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é a razão entre
e
. Não há outras restrições informadas (domínio implícito onde as funções estão definidas).
Passo 2
Vamos reescrever as funções trigonométricas em termos de seno e cosseno — isso costuma simplificar frações envolvendo funções trigonométricas. Lembre que
Usando essas definições, escrevemos a integranda:
Passo 3
Agora simplificamos a fração. Observe que os fatores
no numerador e denominador se cancelam:
A função
é justamente a função cosecante ao quadrado, ou seja,
Passo 4
Portanto a integral original fica
Agora precisamos conhecer a primitiva de
. Uma forma direta é lembrar a derivada de
. Vou mostrar por que
.
Passo 5
Calculemos a derivada de
usando a regra do quociente. Se
e
, então
Aqui
e
. Substituindo,
Como
, obtém-se
Passo 6
Como
, segue que a primitiva de
é
(mais uma constante de integração). Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Conclusão: voltando ao integrando original, obtemos