Calcule a integral indefinida:
\int \frac{\operatorname{sec} ^{2}(x)}{\tan ^{2}(x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\tan^{2}(x)}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é a razão entre \operatorname{sec}^{2}(x) e \tan^{2}(x). Não há outras restrições informadas (domínio implícito onde as funções estão definidas).

Passo 2

Vamos reescrever as funções trigonométricas em termos de seno e cosseno — isso costuma simplificar frações envolvendo funções trigonométricas. Lembre que
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x},\qquad \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Usando essas definições, escrevemos a integranda:
\frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\tan^{2}(x)} = \frac{\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^{2}}{\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^{2}}.

Passo 3

Agora simplificamos a fração. Observe que os fatores \cos^{-2}x no numerador e denominador se cancelam:
\frac{\left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^{2}}{\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^{2}} = \frac{1/\cos^{2}x}{\sin^{2}x/\cos^{2}x} = \frac{1}{\sin^{2}x}.
A função \dfrac{1}{\sin^{2}x} é justamente a função cosecante ao quadrado, ou seja,
\frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\tan^{2}(x)} = \csc^{2}(x).

Passo 4

Portanto a integral original fica
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\tan^{2}(x)}\,dx = \int \csc^{2}(x)\,dx.
Agora precisamos conhecer a primitiva de \csc^{2}(x). Uma forma direta é lembrar a derivada de \cot x. Vou mostrar por que \dfrac{d}{dx}\big(\cot x\big) = -\csc^{2}x.

Passo 5

Calculemos a derivada de \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} usando a regra do quociente. Se u(x)=\cos x e v(x)=\sin x, então
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u' = -\sin x e v' = \cos x. Substituindo,
\frac{d}{dx}(\cot x)=\frac{(-\sin x)\sin x - \cos x\cos x}{\sin^{2}x} = \frac{-(\sin^{2}x+\cos^{2}x)}{\sin^{2}x}.
Como \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, obtém-se
\frac{d}{dx}(\cot x) = -\frac{1}{\sin^{2}x} = -\csc^{2}x.

Passo 6

Como \dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^{2}x, segue que a primitiva de \csc^{2}x é -\cot x (mais uma constante de integração). Assim
\int \csc^{2}(x)\,dx = -\cot x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Conclusão: voltando ao integrando original, obtemos
\int \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)}{\tan^{2}(x)}\,dx = -\cot x + C.

Resposta

-\cot x + C

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