O que ele pede: determinar o domínio dessa função (ou seja, todos os valores reais de x para os quais a expressão que define y faz sentido como número real).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A expressão dentro da raiz é a fração \dfrac{x}{x+1}.
A presença da raiz quadrada implica restrições sobre o valor dentro dela (não pode produzir número complexo se queremos y real).
A fração tem um denominador x+1, que não pode ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que precisam ser satisfeitas para que y seja um número real.
Definições e regras que vamos usar (explicadas com calma):
A raiz quadrada de um número real está definida (como número real) somente quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, para \sqrt{A} ser real precisamos de
A \ge 0.
Aqui A é qualquer expressão real — no nosso caso A=\dfrac{x}{x+1}.
Para uma fração \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}} ser bem definida, o denominador não pode ser zero. Portanto precisamos de
x+1 \neq 0.
Aplicando essas regras ao nosso problema, as condições que x deve satisfazer são:
lembrando sempre de excluir x que anulem o denominador.
Estratégia para resolver essa desigualdade (explicação didática):
Uma fração é não negativa quando o numerador e o denominador têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) ou quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero).
Os pontos onde o sinal da fração pode mudar são as raízes do numerador e os zeros do denominador. Encontramos esses pontos e fazemos um estudo de sinais por intervalos.
Determinar os pontos críticos:
Numerador x=0.
Denominador x+1=0 \Rightarrow x=-1 (esse ponto faz a fração não definida).
Portanto os pontos que dividem a reta em intervalos são x=-1 e x=0.
Passo 4
Fazemos um estudo de sinais por intervalos usando os pontos críticos x=-1 e x=0.
Os intervalos a verificar são:
(-\infty,-1),\quad (-1,0),\quad (0,\infty).
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e calculamos o sinal de \dfrac{x}{x+1}.
Agora interpretamos os resultados do estudo de sinais junto com as condições de igualdade e de denominar não nulo.
Nas regiões (-\infty,-1) e (0,\infty) a fração é positiva, então satisfaz \dfrac{x}{x+1}\ge 0.
Na região (-1,0) a fração é negativa, então esses x não são permitidos.
Precisamos verificar os pontos críticos:
x=-1: o denominador é zero, então x=-1 é proibido (a expressão não está definida).
x=0: o numerador é zero e o denominador é 0+1=1\neq 0, então \dfrac{0}{1}=0 e \sqrt{0}=0 é permitido. Portanto x=0 pertence ao domínio.
Assim, juntando tudo: os x permitidos são aqueles em (-\infty,-1) mais x=0 e todos x>0. Em notação de intervalos isso é
(-\infty,-1)\cup[0,\infty).
Passo 6
Comentário final rápido para fixar a intuição (apenas para você se sentir mais seguro):
A fração deve ser não negativa; isso acontece quando numerador e denominador têm o mesmo sinal. Para x<-1 ambos são negativos (porque x< -1 implica x<0 e x+1<0), então a razão é positiva. Para x>0 ambos são positivos. Entre -1 e 0 o numerador é negativo e o denominador positivo, então razão negativa — proibido. O ponto x=0 é permitido porque dá radicando zero. O ponto x=-1 é proibido porque anula o denominador.