Determine o domínio da função
y=\sqrt{\frac{x}{x+1}} .

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\sqrt{\frac{x}{x+1}}.
O que ele pede: determinar o domínio dessa função (ou seja, todos os valores reais de x para os quais a expressão que define y faz sentido como número real).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  1. A expressão dentro da raiz é a fração \dfrac{x}{x+1}.
  2. A presença da raiz quadrada implica restrições sobre o valor dentro dela (não pode produzir número complexo se queremos y real).
  3. A fração tem um denominador x+1, que não pode ser zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que precisam ser satisfeitas para que y seja um número real.
Definições e regras que vamos usar (explicadas com calma):
  • A raiz quadrada de um número real está definida (como número real) somente quando o radicando é maior ou igual a zero. Ou seja, para \sqrt{A} ser real precisamos de
A \ge 0.
Aqui A é qualquer expressão real — no nosso caso A=\dfrac{x}{x+1}.
  • Para uma fração \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}} ser bem definida, o denominador não pode ser zero. Portanto precisamos de
x+1 \neq 0.
Aplicando essas regras ao nosso problema, as condições que x deve satisfazer são:
\frac{x}{x+1} \ge 0 \quad\text{e}\quad x+1 \neq 0.

Passo 3

Agora vamos resolver a desigualdade
\frac{x}{x+1} \ge 0,
lembrando sempre de excluir x que anulem o denominador.
Estratégia para resolver essa desigualdade (explicação didática):
  • Uma fração é não negativa quando o numerador e o denominador têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) ou quando o numerador é zero (desde que o denominador não seja zero).
  • Os pontos onde o sinal da fração pode mudar são as raízes do numerador e os zeros do denominador. Encontramos esses pontos e fazemos um estudo de sinais por intervalos.
Determinar os pontos críticos:
  • Numerador x=0.
  • Denominador x+1=0 \Rightarrow x=-1 (esse ponto faz a fração não definida).
Portanto os pontos que dividem a reta em intervalos são x=-1 e x=0.

Passo 4

Fazemos um estudo de sinais por intervalos usando os pontos críticos x=-1 e x=0.
Os intervalos a verificar são:
(-\infty,-1),\quad (-1,0),\quad (0,\infty).
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e calculamos o sinal de \dfrac{x}{x+1}.
  • Para x\in(-\infty,-1), tomo x=-2. Então
\frac{x}{x+1}\Big|_{x=-2}=\frac{-2}{-2+1}=\frac{-2}{-1}=2>0.
Logo, na região (-\infty,-1) a fração é positiva.
  • Para x\in(-1,0), tomo x=-\tfrac{1}{2}. Então
\frac{x}{x+1}\Big|_{x=-\tfrac{1}{2}}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{1}{2}+1}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=-1<0.
Logo, na região (-1,0) a fração é negativa.
  • Para x\in(0,\infty), tomo x=1. Então
\frac{x}{x+1}\Big|_{x=1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}>0.
Logo, na região (0,\infty) a fração é positiva.

Passo 5

Agora interpretamos os resultados do estudo de sinais junto com as condições de igualdade e de denominar não nulo.
  • Nas regiões (-\infty,-1) e (0,\infty) a fração é positiva, então satisfaz \dfrac{x}{x+1}\ge 0.
  • Na região (-1,0) a fração é negativa, então esses x não são permitidos.
  • Precisamos verificar os pontos críticos:
    • x=-1: o denominador é zero, então x=-1 é proibido (a expressão não está definida).
    • x=0: o numerador é zero e o denominador é 0+1=1\neq 0, então \dfrac{0}{1}=0 e \sqrt{0}=0 é permitido. Portanto x=0 pertence ao domínio.
Assim, juntando tudo: os x permitidos são aqueles em (-\infty,-1) mais x=0 e todos x>0. Em notação de intervalos isso é
(-\infty,-1)\cup[0,\infty).

Passo 6

Comentário final rápido para fixar a intuição (apenas para você se sentir mais seguro):
  • A fração deve ser não negativa; isso acontece quando numerador e denominador têm o mesmo sinal. Para x<-1 ambos são negativos (porque x< -1 implica x<0 e x+1<0), então a razão é positiva. Para x>0 ambos são positivos. Entre -1 e 0 o numerador é negativo e o denominador positivo, então razão negativa — proibido. O ponto x=0 é permitido porque dá radicando zero. O ponto x=-1 é proibido porque anula o denominador.

Resposta

(-\infty,-1)\cup[0,\infty)

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