Calcule a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - Não há restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Vou usar a técnica de substituição (trocar uma parte da integral por uma nova variável) porque vemos uma composição: há uma expressão do tipo
elevando a uma potência e também aparece
, que costuma combinar bem com a derivada interna. A ideia da substituição é:
- Escolher uma nova variável
igual à parte interna da potência. - Calcular
em função de . - Reescrever a integral em
e integrar.
Defino a substituição
Agora calculo
. Como
depende de
via
, uso a derivada de
:
Isolando
(porque ele aparece na integral original) temos
Passo 3
Reescrevo a integral original em termos de
. Substituindo
e
, obtenho:
Passo 4
Agora aplico a regra de potência para integrais: para
,
Aqui
. Então
Simplificando
multiplicando por
:
Passo 5
Volto à variável original
substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivando
pelo teorema da cadeia temos
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.