Calcule a integral indefinida:
\int e^{r}\left(2+3 e^{r}\right)^{3 / 2} d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int e^{r}\left(2+3 e^{r}\right)^{3/2}\,dr.
Informações dadas:
  • A função integranda é \displaystyle e^{r}\left(2+3 e^{r}\right)^{3/2}.
  • Queremos uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(r) tal que F'(r)=e^{r}\left(2+3 e^{r}\right)^{3/2}.
  • Não há restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Vou usar a técnica de substituição (trocar uma parte da integral por uma nova variável) porque vemos uma composição: há uma expressão do tipo \left(2+3 e^{r}\right) elevando a uma potência e também aparece e^{r}\,dr, que costuma combinar bem com a derivada interna. A ideia da substituição é:
  • Escolher uma nova variável \,u igual à parte interna da potência.
  • Calcular du em função de dr.
  • Reescrever a integral em u e integrar.
Defino a substituição
u = 2 + 3 e^{r}.
Agora calculo du. Como u depende de r via e^{r}, uso a derivada de e^{r}:
du = 3 e^{r}\,dr.
Isolando e^{r}\,dr (porque ele aparece na integral original) temos
e^{r}\,dr = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Reescrevo a integral original em termos de u. Substituindo \left(2+3 e^{r}\right)^{3/2} = u^{3/2} e e^{r}\,dr = \dfrac{1}{3}\,du, obtenho:
\int e^{r}\left(2+3 e^{r}\right)^{3/2}\,dr = \int u^{3/2}\cdot \frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{3/2}\,du.

Passo 4

Agora aplico a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{3}{2}. Então
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{(3/2)+1}}{(3/2)+1} + C = \frac{u^{5/2}}{5/2} + C.
Simplificando \dfrac{1}{3} multiplicando por \dfrac{1}{5/2}:
\frac{1}{3}\cdot \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{5}\,u^{5/2} = \frac{2}{15}\,u^{5/2} + C.

Passo 5

Volto à variável original r substituindo u = 2 + 3 e^{r}. Assim a primitiva encontrada é
F(r) = \frac{2}{15}\left(2+3 e^{r}\right)^{5/2} + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivando F(r) pelo teorema da cadeia temos
F'(r) = \frac{2}{15}\cdot \frac{5}{2}\left(2+3 e^{r}\right)^{3/2}\cdot 3 e^{r} = e^{r}\left(2+3 e^{r}\right)^{3/2},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{15}\left(2+3 e^{r}\right)^{5/2}+C

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