Calcule a integral indefinida.
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações explícitas dadas:
- A função integranda é
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), isto é, uma expressão em termos de
mais uma constante de integração . - Note que
para todo (isto será útil ao tratar de logaritmo, pois o argumento é sempre positivo).
Passo 2
Vou usar uma identidade trigonométrica para expor o numerador de forma conveniente. A identidade do ângulo duplo diz
Explicando rapidamente: essa identidade vem da fórmula
; colocando
obtemos
. Aqui apenas aplique isso para reescrever o numerador quando for necessário.
Passo 3
Observando a forma
, perceba que aparece o produto
, que é compatível com a derivada de
. Vou fazer uma substituição adequada para simplificar a integral. Defina
Agora calcule
em função de
. Usando a regra da cadeia:
Logo
Como
, temos a relação direta
Passo 4
Troque variável na integral usando
e
. A integral original fica
Expliquei acima exatamente como cada parte se transforma: o numerador
vira
e o denominador
vira
.
Passo 5
Agora integramos em
. A primitiva de
é
, pois
. Assim
Observação prática: aqui
sempre, então podemos simplesmente escrever
sem perigo (o valor absoluto é desnecessário, mas mantive a noção por rigor).
Passo 6
Volte à variável
substituindo
. Assim a primitiva obtida em termos de
é
Para fixar a ideia com um exemplo parecido: se tivéssemos
e fizéssemos
, teríamos
e a integral se tornaria
. O raciocínio é análogo ao que usamos aqui.