Calcule a integral indefinida.
\int \frac{\operatorname{sen} 2 x}{1+\cos ^{2} x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin 2x}{1+\cos^{2}x}\,dx.
Informações explícitas dadas:
  • A função integranda é \dfrac{\sin 2x}{1+\cos^{2}x}.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), isto é, uma expressão em termos de x mais uma constante de integração C.
  • Note que 1+\cos^{2}x>0 para todo x (isto será útil ao tratar de logaritmo, pois o argumento é sempre positivo).

Passo 2

Vou usar uma identidade trigonométrica para expor o numerador de forma conveniente. A identidade do ângulo duplo diz
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Explicando rapidamente: essa identidade vem da fórmula \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b; colocando a=b=x obtemos \sin 2x=2\sin x\cos x. Aqui apenas aplique isso para reescrever o numerador quando for necessário.

Passo 3

Observando a forma \sin 2x = 2\sin x\cos x, perceba que aparece o produto \sin x\cos x, que é compatível com a derivada de \cos^{2}x. Vou fazer uma substituição adequada para simplificar a integral. Defina
t = \cos^{2}x.
Agora calcule dt em função de dx. Usando a regra da cadeia:
\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos^{2}x) = 2\cos x\cdot\frac{d}{dx}(\cos x) = 2\cos x\cdot(-\sin x) = -2\sin x\cos x.
Logo
dt = -2\sin x\cos x\,dx.
Como \sin 2x = 2\sin x\cos x, temos a relação direta
\sin 2x\,dx = -dt.

Passo 4

Troque variável na integral usando t=\cos^{2}x e \sin 2x\,dx=-dt. A integral original fica
\int \frac{\sin 2x}{1+\cos^{2}x}\,dx = \int \frac{-\,dt}{1+t} = -\int \frac{1}{1+t}\,dt.
Expliquei acima exatamente como cada parte se transforma: o numerador \sin 2x\,dx vira -dt e o denominador 1+\cos^{2}x vira 1+t.

Passo 5

Agora integramos em t. A primitiva de \dfrac{1}{1+t} é \ln|1+t|, pois \dfrac{d}{dt}\ln|1+t|=\dfrac{1}{1+t}. Assim
- \int \frac{1}{1+t}\,dt = -\ln|1+t| + C.
Observação prática: aqui 1+t=1+\cos^{2}x>0 sempre, então podemos simplesmente escrever -\ln(1+t)+C sem perigo (o valor absoluto é desnecessário, mas mantive a noção por rigor).

Passo 6

Volte à variável x substituindo t=\cos^{2}x. Assim a primitiva obtida em termos de x é
-\ln\bigl(1+\cos^{2}x\bigr) + C.
Para fixar a ideia com um exemplo parecido: se tivéssemos \int \dfrac{2x}{1+x^{2}}\,dx e fizéssemos u=1+x^{2}, teríamos du=2x\,dx e a integral se tornaria \int \dfrac{1}{u}\,du=\ln|u|+C. O raciocínio é análogo ao que usamos aqui.

Resposta

-\ln\bigl(1+\cos^{2}x\bigr)+C

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