Encontre as assíntotas ao gráfico da função:
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre as assíntotas ao gráfico da função
".
Informações dadas: a expressão analítica da função é .
O que devemos determinar: todas as assíntotas do gráfico (verticais, horizontais e/ou oblíquas, se houver).
Informações dadas: a expressão analítica da função é
O que devemos determinar: todas as assíntotas do gráfico (verticais, horizontais e/ou oblíquas, se houver).
Passo 2
Primeiro identifiquemos o domínio e os pontos críticos onde podem aparecer assíntotas verticais. A função tem denominador zero quando
Fatorando o denominador temos
Logo os pontos que anulam o denominador são
e
. Portanto esses pontos não estão no domínio e são candidatos a assíntotas verticais.
Passo 3
Definição prática de assíntota vertical: uma reta
é assíntota vertical se pelo menos uma das limites laterais
ou
divergir para
ou
. Vamos analisar esses limites em
.
Para estudar o sinal do denominador perto de
usamos a fatoração
.
- Quando
(aproximação pela esquerda), temos pequeno e . Portanto e está muito próximo de zero; assim
- Quando
(aproximação pela direita), temos pequeno (negativo) e . Portanto e é pequeno em módulo; assim
Como pelo menos um dos limites laterais diverge, concluímos que
é uma assíntota vertical.
Passo 4
Agora fazemos o mesmo para
. Novamente usamos
.
- Quando
(valores menores que , por exemplo ), temos pequeno (negativo) e (por exemplo ). Logo pequeno, e
- Quando
(valores maiores que , por exemplo ), temos pequeno e maior; logo pequeno, e
Portanto
também é uma assíntota vertical.
Passo 5
Definição prática de assíntota horizontal: uma reta
é assíntota horizontal se
ou
. Vamos calcular os limites na infinidade.
Uma forma simples é dividir numerador e denominador por
(válido para
):
Quando
temos
, logo o quociente tende a
Observação de sinal: para grandes
o termo dominante do denominador é
, então
é negativo, mas tende a zero. Assim
é assíntota horizontal (em ambos os infinities).
Passo 6
Checagem de assíntota oblíqua: assíntotas oblíquas ocorrem quando o limite de
tende a zero com
, o que costuma acontecer em funções racionais quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o grau do denominador. Aqui o numerador tem grau
e o denominador grau
, ou seja o grau do numerador é menor que o do denominador, portanto não há assíntota oblíqua além da horizontal já encontrada.
Passo 7
Resumo final e interpretação intuitiva: a função tem duas linhas verticais onde explode (
) e se aproxima do eixo
quando
(
). Essas são todas as assíntotas da função.