Encontre as assíntotas ao gráfico da função:
f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre as assíntotas ao gráfico da função f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}".
Informações dadas: a expressão analítica da função é f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}.
O que devemos determinar: todas as assíntotas do gráfico (verticais, horizontais e/ou oblíquas, se houver).

Passo 2

Primeiro identifiquemos o domínio e os pontos críticos onde podem aparecer assíntotas verticais. A função tem denominador zero quando
1-x^{2}=0.
Fatorando o denominador temos
1-x^{2}=(1-x)(1+x).
Logo os pontos que anulam o denominador são x=1 e x=-1. Portanto esses pontos não estão no domínio e são candidatos a assíntotas verticais.

Passo 3

Definição prática de assíntota vertical: uma reta x=a é assíntota vertical se pelo menos uma das limites laterais \lim_{x\to a^-}f(x) ou \lim_{x\to a^+}f(x) divergir para +\infty ou -\infty. Vamos analisar esses limites em x=1.
Para estudar o sinal do denominador perto de x=1 usamos a fatoração 1-x^{2}=(1-x)(1+x).
  • Quando x\to 1^{-} (aproximação pela esquerda), temos 1-x>0 pequeno e 1+x\approx 2>0. Portanto 1-x^{2}>0 e está muito próximo de zero; assim
\lim_{x\to 1^{-}} \frac{1}{1-x^{2}} = +\infty.
  • Quando x\to 1^{+} (aproximação pela direita), temos 1-x<0 pequeno (negativo) e 1+x\approx 2>0. Portanto 1-x^{2}<0 e é pequeno em módulo; assim
\lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{1-x^{2}} = -\infty.
Como pelo menos um dos limites laterais diverge, concluímos que x=1 é uma assíntota vertical.

Passo 4

Agora fazemos o mesmo para x=-1. Novamente usamos 1-x^{2}=(1-x)(1+x).
  • Quando x\to -1^{-} (valores menores que -1, por exemplo -1{,}1), temos 1+x<0 pequeno (negativo) e 1-x>0 (por exemplo 1-(-1{,}1)=2{,}1>0). Logo 1-x^{2}<0 pequeno, e
\lim_{x\to -1^{-}} \frac{1}{1-x^{2}} = -\infty.
  • Quando x\to -1^{+} (valores maiores que -1, por exemplo -0{,}9), temos 1+x>0 pequeno e 1-x>0 maior; logo 1-x^{2}>0 pequeno, e
\lim_{x\to -1^{+}} \frac{1}{1-x^{2}} = +\infty.
Portanto x=-1 também é uma assíntota vertical.

Passo 5

Definição prática de assíntota horizontal: uma reta y=L é assíntota horizontal se \lim_{x\to\infty} f(x)=L ou \lim_{x\to -\infty} f(x)=L. Vamos calcular os limites na infinidade.
Uma forma simples é dividir numerador e denominador por x^{2} (válido para x\neq 0):
f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1/x^{2}}{1/x^{2}-1}.
Quando |x|\to\infty temos 1/x^{2}\to 0, logo o quociente tende a
\lim_{x\to\infty} \frac{1}{1-x^{2}} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{1-x^{2}} = 0.
Observação de sinal: para grandes |x| o termo dominante do denominador é -x^{2}, então f(x)\approx -1/x^{2} é negativo, mas tende a zero. Assim y=0 é assíntota horizontal (em ambos os infinities).

Passo 6

Checagem de assíntota oblíqua: assíntotas oblíquas ocorrem quando o limite de f(x)- (mx+b) tende a zero com m\neq 0, o que costuma acontecer em funções racionais quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o grau do denominador. Aqui o numerador tem grau 0 e o denominador grau 2, ou seja o grau do numerador é menor que o do denominador, portanto não há assíntota oblíqua além da horizontal já encontrada.

Passo 7

Resumo final e interpretação intuitiva: a função tem duas linhas verticais onde explode ( x=\pm 1 ) e se aproxima do eixo x quando x\to\pm\infty ( y=0 ). Essas são todas as assíntotas da função.

Resposta

x=1
x=-1
y=0

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