Calcule usando os limites fundamentais.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(1-\cos x)}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(1-\cos x)}{1-\cos x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é \operatorname{sen}(1-\cos x).
  • O denominador é 1-\cos x.
  • Note que \cos 0 = 1, portanto 1-\cos x \to 0 quando x \to 0.
  • Assim o tipo de indeterminação é \frac{0}{0} (porque \operatorname{sen}(0)=0 também).

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): fazer uma substituição simples para usar o limite fundamental \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Definimos a mudança de variável
u = 1-\cos x.
Agora explico por que essa mudança faz sentido: como \cos x \to 1 quando x\to 0, temos \,u = 1-\cos x \to 0. Então ao aproximarmos x de 0 estamos realmente aproximando u de 0.

Passo 3

Reescrevendo o limite em u: usando u=1-\cos x (e lembrando que u\to 0 quando x\to 0), a expressão fica
\frac{\operatorname{sen}(1-\cos x)}{1-\cos x}=\frac{\sin u}{u}.
Portanto o limite procurado é
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(1-\cos x)}{1-\cos x}=\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}.

Passo 4

Apresentando e justificando o limite fundamental usado: a propriedade que vamos usar é
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Breve justificativa (muito usada em provas): para u pequeno e positivo, pela geometria do círculo unitário vale a desigualdade
\sin u < u < \tan u.
Dividindo tudo por \sin u>0 obtemos
1 < \frac{u}{\sin u} < \frac{1}{\cos u}.
Invertendo os termos (mantendo a desigualdade correta) obtemos
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.
Agora, fazendo u\to 0^+, o lado esquerdo \cos u \to \cos 0 = 1; pelo princípio do aperto (squeeze theorem) conclui-se que \dfrac{\sin u}{u}\to 1. Para u\to 0^- usa-se que \sin é ímpar e o mesmo resultado vale. Portanto o limite é 1.

Passo 5

Concluindo: como reescrevemos o limite original como \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u} e esse limite vale 1, segue que
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(1-\cos x)}{1-\cos x}=1.

Resposta

1

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