Calcule usando os limites fundamentais.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Note que
, portanto quando . - Assim o tipo de indeterminação é
(porque também).
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): fazer uma substituição simples para usar o limite fundamental
. Definimos a mudança de variável
Agora explico por que essa mudança faz sentido: como
quando
, temos
. Então ao aproximarmos
de
estamos realmente aproximando
de
.
Passo 3
Reescrevendo o limite em
: usando
(e lembrando que
quando
), a expressão fica
Portanto o limite procurado é
Passo 4
Apresentando e justificando o limite fundamental usado: a propriedade que vamos usar é
Breve justificativa (muito usada em provas): para
pequeno e positivo, pela geometria do círculo unitário vale a desigualdade
Dividindo tudo por
obtemos
Invertendo os termos (mantendo a desigualdade correta) obtemos
Agora, fazendo
, o lado esquerdo
; pelo princípio do aperto (squeeze theorem) conclui-se que
. Para
usa-se que
é ímpar e o mesmo resultado vale. Portanto o limite é
.
Passo 5
Concluindo: como reescrevemos o limite original como
e esse limite vale
, segue que